数学建模中的差分法.ppt

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1、差分方程模型一差分方程1差分:设函数,记为,当t取遍非负整数时,函数值可以排成一个数列,则差称为函数的差分,也称一阶差分,记为,即二阶差分同理,可定义三阶差分等。二阶及二阶以上的差分称为高阶差分。差分的性质:2差分方程:含有未知函数及表示未知函数的几个时期值的符号的方程。如3差分方程的阶方程中含未知函数附标的最大值与最小值的差数。不同形式的方程可互相转化。4差分方程的解如果一个函数代入差分方程后,方程两端恒等,则称此函数为该方程的解。例一阶线性方程有解类似于微分方程可定义初值条件,特解等。二差分方程平衡点的稳定

2、性1对于一阶线性常系数差分方程满足方程的解,称为上方程的平衡点。即平衡点为由于方程(1)平衡点的稳定性问题可转化为下面方程零点的稳定性。方程(2)的解可表示为可得到下面的稳定性结论。当且仅当时,方程(2)的平衡点(零点)是稳定的,从而方程(1)的平衡点稳定。对于n维向量常数矩阵A构成的方程组称其为一阶常系数线性齐次差分方程组。结论1若r(A)<1,则其平衡点是全局渐近稳定;若r(A)>1,则其平衡点是不稳定的;若r(A)=1,稳定性不确定。A的特征根的集合称为矩阵A的谱,称为矩阵A的谱半径。2对于二阶线性常系数

3、差分方程平衡点为为了得到(4)零点的稳定性我们求解方程(4)。写出特征方程解出特征值通解为其中常数由初值条件确定。当且仅当时,方程(4)的平衡点是稳定的。结论2非齐次线性方程(5)的稳定性可转化为齐次方程(4)来研究。对于n阶线性方程平衡点稳定的条件是特征根3一阶非线性差分方程平衡点通过求解方程而得到。研究稳定性的方法之一是研究其对应的线性部分的稳定性。将方程(6)的右端在点作泰勒展开只取一次项,(6)近似为也是(7)平衡点。当结论3时,方程(6)与(7)平衡点的稳定性相同。结论4当时,方程(7)平衡点是稳定的

4、;当时,方程(7)平衡点是不稳定的。三常微分方程向差分方程转化(数值解)1Euler方法求初值问题的近似解。只要给定就可求得先把自变量所在的区间n等分;例1从出发并取,求下列初值问题的近似解。解继续下去,自变量使用等间隔值,并生成其n个值,令步数n可任意大,但n太大,会有误差积累。优点:容易编程计算。例2从出发并取,求下列初值问题的近似解。解解Malthus模型的离散形式例3对于方程组的情形,Euler方法同样可用。先把自变量所在的区间n等分;步数n可任意大,但n太大,会有误差积累。对捕食模型用Euler法求出

5、前三次逼近,初始条件为解第一组点:第一组点:第二组点:第三组点:继续下去,就可生成数值解表。如果方程组为自治系统,在相平面上就可得到近似的轨线图。上机练习1:对捕食模型用Euler法,在相平面上画出轨线的近似图,观察其变化情况。2Runge-kutta型方法也是用来求初值问题的近似解,但比Euler方法收敛更快。先把自变量所在的区间n等分;Euler方法常取单步方法。四差分方程模型举例1差分形式Logistic模型离散化变形令b=r+11)平衡点及其稳定性求平衡点:平衡点为根据稳定的条件当b<1,只有一个稳定的

6、平衡点,当13时,是不稳定的平衡点。2)数值计算(上机练习2)初值取b=1.7,2.6,3.3,3.45,3.55,3.57k=1,2,…,100观察的变化趋势。出现倍周期收敛现象。一般地,一阶自治的非线性差分方程3)混沌与分岔若x*满足则称x*为不动点,1-周期点。若x*满足则称x*为2-周期点。4-周期点,8-周期点等,倍周期分岔。练习:竞争猎兽模型斑点猫头鹰和红隼在其栖息地为生存而斗争。假定没有其他种群存在的情况下,每个单种群都可以无限地增长,即在一个时间区间里

7、(如一天)其种群量的变化与该时间区间开始时的种群量成正比。而第二种群的存在降低了另一种群的增长率。假定这种增长率的减少与两种群的数量之积成正比。试建立数学模型考察两种群的演化规律。一建立模型根据题意,建立差分方程组二模型求解求平衡点在平衡点处两种群的种群量不会发生变化。即如果一开始它们数量为150和200时,那么每天数量都保持不变。数值计算在平衡点附近的情形猫头鹰隼情形1151199情形2149201情形31010xyxyxy115119911157.31188.4821221.05113.182151.151

8、98.6012159.12185.7322240.2597.033151.36198.1413161.40182.3423264.9779.574151.64197.6014164.25178.1824296.8861.275152.00196.9615167.83173.1025338.0643.276152.49196.1716172.34166.9326391.0527.0071

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