差分法在数列中的应用

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1、差分法在数列中的应用自变量取值为正整数的函数称为离散函数，称函数为函数的一阶差分，为函数的二阶差分.例如，等差数列的通项是前项和的一阶差分，公差是前项和的二阶差分.本文举例说明差分法在解决与前项和有关的数学证明、求数列通项和最值项等问题.1.用差分法证明有关数列问题例1.我们知道：若数列是等差数列，则其前项和；反之，若数列的前项和，判断数列是否为等差数列？若是，请证明；若不是，说明理由.2.用差分法求通项公式例2.数列的前项和为，且，求例3.数列满足：例4.各项均为正数的数列的前项和为，且，数列是公差为的等差数列，求数列的通项公式（用表示）.1.用差分求数列的最值例

2、5.设数列的前项和为，若对于任意，，且成立.（1）求的值；（2）求证：数列是等差数列，并写出其通项公式；（3）令，若对一切整数，总有，求的取值范围.例6.已知数列满足：.（1）李四同学欲求的通项公式，他想：如能找到一个函数（为常数），把递推关系变成后，就容易求出的通项公式.请问：他设想的存在吗？的通项公式是什么？（2）记，若不等式对任意的都成立，求实数的取值范围.答案与解析：例1.解：由得：①，由①得：，②①-②得：，③【一阶差分】由③得：，③②-③得：，【二阶差分】∴数列为等差数列例2.解：由①得：，②①-②得：，由得：，则∴例3.解：由①得：②①-②得：检验：，

3、适合上式，即③由③得：④③-④得：，检验，，不适合上式，所以例4.解：由题意：，平方得：①由①得：，②①-②得：，∵，则化简得：，即∴例5.（1）（略解）（2）由得①由①得：，②①-②得，即，即，，则，③由③得：，④③-④得，，即，成立.∵适合上式，∴，∴数列是以为公差的等差数列，即（3）由（2）得，由题意：令，即化简得：，解得：∴，故，即例6.