有限差分法课件.ppt

《有限差分法课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第一节差分方程从弹性力学的基本方程建立以来，这些方程在各种问题的边界条件下如何求解，一直是很多数学工作者和力学工作者研究的内容。即弹性力学的经典解法存在一定的局限性，当弹性体的边界条件和受载情况复杂一点，往往无法求得偏微分方程的边值问题的解析解，许多工程重要问题，不能够得出函数式的解答。因此，弹性力学问题的各种数值解法便具有重要的实际意义。差分法是沿用已久的一种数值解法。随着计算机的普及和相应的软件发展，此法成为解弹性力学问题的一种有效的方法。工程中常用得数值解法有有限单元法和差分法。有限单元法是以有限个单元的集合体来代替连续体，属于物理上的近似。差分法是把弹性力学的基本方程和边界条

2、件（一般均为微分方程）近似地改用差分方程（代数方程）来表示，把求解微分方程的问题改换成为求解代数方程的问题，属于数学上的近似。我们在弹性体上，用相隔等间距h而平行于坐标轴的两组平行线织成正方形网格，Δx=Δy=h，如图。设f=f(x,y)为弹性体内的某一个连续函数。该函数在平行于x轴的一根网线上，如在３-０-１上,它只随x坐标的改变而变化。在邻近结点０处，函数f可展为泰勒级数如下：我们将只考虑离开结点０充分近的那些结点，即（x-x0）充分小。于是可不计（x-x0）的三次及更高次幂的各项，则上式简写为：在结点３，x=x0-h,在结点1,x=x0+h，代入(b)得：联立(c),(d),解

3、得差分公式：同理，在网线４-０-２上可得到差分公式以上(１-１)~(１-４)是基本差分公式,从而可导出其它的差分公式如下：差分公式(１-１)及(１-３)是以相隔2h的两结点处的函数值来表示中间结点处的一阶导数值，可称为中点导数公式。以相邻三结点处的函数值来表示一个端点处的一阶导数值，可称为端点导数公式。应当指出：中点导数公式与端点导数公式相比，精度较高。因为前者反映了结点两边的函数变化，而后者却只反映了结点一边的函数变化。因此，我们总是尽可能应用前者，而只有在无法应用前者时才不得不应用后者。第二节应力函数的差分解当不计体力时，我们已把弹性力学平面问题归结为在给定边界条件下求解双调和方

4、程的问题。用差分法解平面问题，就应先将双调和方程变换为差分方程，而后求解之。一旦求得弹性体全部节点的φ值后，就可按应力分量差分公式（对节点0）算得弹性体各节点的应力。可见，用差分法解平面问题，共有两大任务：一、建立差分方程将（1-6）代入双调和方程对于弹性体边界以内的每一结点，都可以建立这样一个差分方程。整理即得二、联立求解这些线性代数方程，就能求得各内结点处的值。为了求得边界上各结点处的φ值，须要应用应力边界条件，即：一般建立和求解差分方程，在数学上不会遇到很大困难。但是，当对于边界内一行的（距边界为h的）结点，建立的差分方程还将涉及边界上各结点处的φ值，并包含边界外一行的虚结点处

5、的φ值。代入上式，即得：l1=cos(N,x)=cosα=dy/ds,l2=cos(N,y)=sinα=-dx/ds,于是，式（a）可改写为：由图2可见，关于边界上任一点处由此得：的值，可将上式从A点到B点对s积分得到：将此式亦从A点到B点沿s进行积分，就得到边界上任一点B处的φ值。为此利用分部积分法，得：由高等数学可知，将式(b),(c)代入，整理得：由前知，把应力函数加上一个线性函数，并不影响应力。因此，可设想把应力函数加上a+bx+cy，然后调整a，b，c三个数值，使得由式(d)及式(c)可见，设即可根据面力分量及求得为已知，从图易看出，式（2－3）右边的积分式表示A与B之间的

6、，x方向的面力之和；式（2－4）右边的积分式表示A与B之间的，y方向的面力之和；式（2－5）右边的积分式表示A与B之间的面力对于B点的矩。于是式(d)，式(c)即简化为：至此，我们解决了怎样计算边界上各结点的值的问题。至于边界外一行虚结点处的值，则可用边界上结点处的或值和边界内一行相应结点处的值来表示。例如，对于图1中的虚结点14，因为有所以有当求出全部结点上的φ值以后，我们就可按应力分量的差分公式（2－1）计算应力分量。用差分法解弹性平面问题时，可按下列步骤进行：（1）在边界上任意选定一个结点作为基点A，取然后由面力的矩及面力之和算出边界上所有各结点处φ的值，以及所必需的一些及值，

7、即垂直于边界方向的导数值。（2）应用公式（2－6），将边界外一行虚结点处的φ值用边界内的相应结点处的φ值来表示。（3）对边界内的各结点建立差分方程（2－2），联立求解这些结点处的值。（4）按照公式（2－6），算出边界外一行的各虚结点处的φ值。（5）按照公式（2－1）计算应力的分量。说明：1．以上是针对单连体导出的结果。对于多连体，情况就不象这样简单。2.如果一部分边界是曲线的，或是不与坐标轴正交，则边界附近将出现不规则的内结点。对于这样的结点，差分方程（2