概率论与数理统计学习资料.ppt

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1、1概率论与数理统计(十)开始王柱2011.10.272习题二部分题答案.3.4.1.2k=012345p=32808040101/24336.8.N=4的独立试验序列，k=3、4时台称不够用。其概率等于10小时台称不够用的平均时间为小时。30.48分钟。414.16.518.622.P=3/5728.由:X~N(,2)则Y=(X-)/~N(0,1)于是,P{x1Xx2}=P{(x1-)/Y(x2-)/}=((x2-)/)-((x1-)/)“查附表2”8930.“查附表2”不合格品率P=10X012Y=2

2、X/3+228/310/3Z=cos(X)1cos(1)cos(2)Pi1/41/21/433.34.由:X~N(,2)则Y=cX+d服从参数为(cμ+d),(cσ)2的正态分布N((cμ+d),(cσ)2)。服从参数为(cμ+d)=1,(cσ)2=4的正态分布N(1,4)。现在:=0,=1；c=-2，d=111正态分布N(1,4)的密度函数为正态分布N(,2)的密度函数为12例4:设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1和X2的分布函数。为使F(x)=aF1(x)-bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列各组数值中应取

3、：（a）（b）（c）（d）13例5:设随机变量X服从正态分布，随机变量Y服从正态分布，且则必有：（A）（B）（C）（D）14由得从而进而有15例7:设两个随机变量X和Y的联合概率分布为：（a）（b）（c）（d）已知随机事件与相互独立，则YX01010.4ba0.116首先：由随机事件与相互独立，则得出：177。(两个)随机变量函数的分布与一个随机变量的函数的分布求法类似，已知二维随机变量(X,Y)的分布，可以求出其函数Z=g(X,Y)的分布：记G为不等式g(x,y)z所确定的x和y的范围，则于是，如果(X,Y)为连续型的且概率密度为，则

4、又若Z=g(X,Y)也是连续型的，则18如果(X,Y)是离散型的且分布律为此时，Z=g(X,Y)也是离散型的，设其可能值为则其分布律19(一)Z=X+Y分布de积分域Z=-1Z=0Z=2xyG下面只就几个具体的函数来讨论：20Z=X+Y分布de求法:设(X,Y)的概率密度为f(x,y),则Z=X+Y的分布函数为化成逐次积分固定z和y对积分的被积函数作变量替换,令x=u-y得21于是得Z的概率密度为积分换序有由X,Y的对称性,又可得Z的概率密度为这是两个随机变量和的概率密度的一般公式。22特别，当X，Y相互独立时，变为这两个公式称为卷积公式

5、，记为fX*fY。即23(二)Z=X/Y分布de积分区域Z=-1Z=0Z=1/2Z=1Z=3J1J2yx24Z=X/Y分布de求法:设(X,Y)的概率密度为f(x,y),则Z=X/Y的分布函数为第一个J1化成逐次积分固定z和y对积分的被积函数作变量替换,令u=x/y，(这里y>0)得25于是类似地(这里y<0)有积分换序有26故有得Z的概率密度为特别两个随机变量独立时27例4.X,Y表示两只灯泡的寿命,且相互独立.已知它们的概率密度为,求Z=X/Y的概率密度.解:由x>0,y>0知必需z>0.得即28(3.5.2)、M=max(X,Y),

6、N=min(X,Y)的分布设(X,Y)的是两个独立的随机变量,它们的分布函数为FX(x)和FY(y),求M=max(X,Y),N=min(X,Y)的分布。推广到n个独立的随机变量,M=max(X1,…,Xn)的分布为若为n个独立同分布的随机变量时,29推广到n个独立的随机变量,则N=min(X1,…,Xn)的分布为进一步若为n个独立同分布的随机变量时,30定义4.1.1:设离散随机变量X的分布律为P(X=xk)=pkk=1,2,……若级数第四章随机变量的数字特征§4.1数学期望绝对收敛,则称此级数的和为离散随机变量X的数学期望或均值,记为

7、E(X),即(平均值的引入)31例4.1.1设X服从0-1分布P(X=1)=pP(X=0)=q=1-p显然级数绝对收敛,0-1分布的离散随机变量X的数学期望或均值为32例4.1.2设X服从分布求X的数学期望或均值。解：X的分布律为,所以33定义4.1.2:设连续型随机变量X的概率密度为f(x),若积分绝对收敛,则称此积分的值为随机变量X的数学期望,记为E(X),即数学期望简称期望,又称为均值.34例4.1.3:设求解：这是因为被积函数在内是奇函数。35定理4.1.1:设Y是随机变量X的函数,Y=g(X)(函数g(x)是连续函数).一、设离

8、散随机变量X的分布律为P(X=xk)=pkk=1,2,……*随机变量函数的数学期望若级数绝对收敛,则有36二、连续型随机变量X的概率密度为f(x),若积分绝对收敛,则有37例4.1.4按节气出