概率论与数理统计A复习 12.ppt

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1、§1.2概率的定义与性质一、概率的古典定义①样本空间Ω只含有限个元素;②每个样本点发生的可能性相同——等可能概型（古典概型）。古典概率：设E为等可能概型，其样本空间Ω共含有n个基本事件，其中A包含的基本事件有k个，则如“抛一枚硬币，正面朝上的概率为1/2”“掷一枚骰子，得6点的概率为1/6”例1、一部四册的文集按照任意次序随机地放到书架上去，问各册自右向左或自左向右恰成（一）、（二）、（三）、（四）的顺序的概率是多少？解、设A表示“自右向左或自左向右恰成（一）（二）（三）（四）的顺序”则样本空间共含有4！=24个样本点而A含有2个样本点所以，P(A)=2/24

2、=1/12例2、某公司生产的15件品中,有12件是正品,3件是次品.现将它们随机地分装在3个箱中,每箱装5件.设:A={每箱中恰有一件次品},B={三件次品都在同一箱中}.求:P(A)和P(B).例3、抽样模型一批产品共有N件，其中M件是次品，其余N-M件是正品。现从该批产品中任取n件，试分别在有放回和无放回的情况下，求事件Ak={所取n件中有k件次品}的概率.注：P31例1.5.7的彩票模型是抽样模型的应用例4、盒子模型设有n个小球，N个盒子，每个球都是等可能地放入任一个盒子中去，每个盒子的容量不限，求以下概率：(1)指定的n个盒子中各有一个球（记为A）；(

3、2)恰有n个盒子中各有一个球（记为B）.生日问题——盒子模型的应用设某班级有n个学生（n≤365），问，该班至少有俩个人同月同日生的概率是多少？解：用A表示“至少有2个人同月同日生”则表示“他们的生日各不相同”，即“恰有n日，每日是该班的一位同学的生日”n10305060P(A)0.1160.69630.96510.9923例5、抽签与顺序无关口袋中有a只黑球，b只白球，他们除颜色不同外，其他方面没有差别，现在把球随机地一只只摸出来（不放回），求第k次摸出的一只球是黑球的概率。解法一、把a只黑球及b只白球都看作不同的解法二、把a只黑球看作是没有区别的，把b只白

4、球看作是没有区别的二、几何概率适用于(1)样本空间是度量有限的区域；(2)随机点落在度量相同的子区域的可能性相同.计算公式：设A是Ω的子区域，SA,SΩ分别是A和Ω的度量，则例1、均匀陀螺的圆周上均匀地刻着区间[0,3)上的诸数字．旋转它，求陀螺停下时其圆周与桌面接触点刻度恰好位于［1/2,2］的概率．例2、会面问题２人约定在时间［０，T］内会面，２人在这段时间内哪一刻到等可能，约定先到者等候T/4，求２人见到面的概率．用频率的极限来定义对E作n次重复试验，其中事件A出现m次，称m为事件A发生的频数，称为事件A发生的频率。三、概率的统计定义频率满足的性质：1

5、0≤fn(A)≤12fn(Ω)=1,fn(Ø)=03.若事件A1,A2,…,Ak两两互不相容,则:频率具有波动性,如“抛硬币”试验，将一枚硬币抛n次，正面出现的频数m,频率m/n：实验序号n=5n=50n=500mm/nmm/nmm/n1234567891023151242330.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6222521252421182427310.440.500.420.500.480.420.360.480.540.622512492562532512462442582622470.5020.4980.5120.5060.5

6、020.4920.4880.5160.5240.494频率的波动性随n增大而减小:实验者n频数m频率m/n德.摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069K.皮尔逊1200060190.5010K.皮尔逊24000120120.5005若n→∞时,fn(A)=m/n→p(稳定于p)，则称p为事件A的概率。四、概率的公理化定义概率是什么概率—事件可能性大小的度量1933年，前苏联，柯尔莫哥洛夫提出概率的公理化定义定义：设为随机试验的样本空间，F为上的事件域A为F中的事件，若集合函数P(·)满足：1、非负性：对于每个事件A，有P(A)≥0；2、

7、规范性：对于必然事件，有P()=1；3、可列可加性：若随机事件A1,A2,…,Ak,…两两互不相容（AiAj=,i≠j），则有则称P(A)为事件A的概率。5.加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)1.P(Φ)=0;2.有限可加:若A1,A2,…,An两两互不相容,则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An);概率的运算性质：4.若AB,则P(B-A)=P(B)-P(A);3.P()=1-P(A);若AB,则P(A)≤P(B)(单调性)例1、已知则例2、已知则A,B,C中至少发生一个的概率是多少？A,B,C都不发生的概率是

8、多少？例4某班有40名同学，在一次期中