高考数学课本回归_(5)

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时间:2017-12-06

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1、高中数学课本回归(5)第一章解三角形一、基础知识【理解去记】在本章中约定用A,B,C分别表示△ABC的三个内角,a,b,c分别表示它们所对的各边长,为半周长。1.正弦定理:=2R(R为△ABC外接圆半径)。推论1:△ABC的面积为S△ABC=推论2:在△ABC中,有bcosC+ccosB=a.推论3:在△ABC中,A+B=,解a满足,则a=A.正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到,这里不再给出,下证推论。先证推论1,由正弦函数定义,BC边上的高为bsinC,所以S△ABC=;再证推论2,因为B+C=-A,所以si

2、n(B+C)=sinA,即sinBcosC+cosBsinC=sinA,两边同乘以2R得bcosC+ccosB=a;再证推论4,由正弦定理,所以,即sinasin(-A)=sin(-a)sinA,等价于[cos(-A+a)-cos(-A-a)]=[cos(-a+A)-cos(-a-A)],等价于cos(-A+a)=cos(-a+A),因为0<-A+a,-a+A<.所以只有-A+a=-a+A,所以a=A,得证。2.余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,下面用余弦定理证明几个常用的结论。(1)斯特瓦特定理【了解

3、】:在△ABC中,D是BC边上任意一点,BD=p,DC=q,则AD2=(1)【证明】因为c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos,所以c2=AD2+p2-2AD·pcos①同理b2=AD2+q2-2AD·qcos,②因为ADB+ADC=,所以cosADB+cosADC=0,所以q×①+p×②得qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q),即AD2=注:在(1)式中,若p=q,则为中线长公式(2)海伦公式:因为b2c2sin2A=b2c2(1-cos2A)=b2c2[(b+c)-a2][a2-(b-c)

4、2]=p(p-a)(p-b)(p-c).这里所以S△ABC=数学必修5第18页共18页二、基础例题【必会】1.面积法例1(共线关系的张角公式)如图所示,从O点发出的三条射线满足,另外OP,OQ,OR的长分别为u,w,v,这里α,β,α+β∈(0,),则P,Q,R的共线的充要条件是【证明】P,Q,R共线(α+β)=uwsinα+vwsinβ,得证。2.正弦定理的应用例2如图所示,△ABC内有一点P,使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。求证:AP·BC=BP·CA=CP·AB。【证明】过点P作PDBC

5、,PEAC,PFAB,垂足分别为D,E,F,则P,D,C,E;P,E,A,F;P,D,B,F三组四点共圆,所以EDF=PDE+PDF=PCA+PBA=BPC-BAC。由题设及BPC+CPA+APB=3600可得BAC+CBA+ACB=1800。所以BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB=600。所以EDF=600,同理DEF=600,所以△DEF是正三角形。所以DE=EF=DF,由正弦定理,CDsinACB=APsinBAC=BPsinABC,两边同时乘以△ABC的外接圆直径2R,得CP·BA=AP·BC

6、=BP·AC,得证:例3如图所示,△ABC的各边分别与两圆⊙O1,⊙O2相切,直线GF与DE交于P,求证:PABC。【证明】延长PA交GD于M,因为O1GBC,O2DBC,所以只需证由正弦定理,所以另一方面,,所以,所以,所以PA//O1G,即PABC,得证。3.一个常用的代换:在△ABC中,记点A,B,C到内切圆的切线长分别为x,y,z,则a=y+z,b=z+x,c=x+y.例4在△ABC中,求证:a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.【证明】令a=y+z,b=z+x,c=x+y

7、,则abc=(x+y)(y+z)(z+x)=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)=a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc.所以a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.4.三角换元。例5设a,b,c∈R+,且abc+a+c=b,试求的最大值。数学必修5第18页共18页【解】由题设,令a=tanα,c=tanγ,b=tanβ,则tanβ=tan(α+γ),P=2sinγsin(2α+γ)+3cos2γ≤,当且仅当α+β=,sinγ=,即a=时

8、,Pmax=例6在△ABC中,若a+b+c=1,求证:a2+b2+c2+4abc<【证明】设a=sin2αcos2β,b=cos2αcos2β,c=sin2β,β.因为a,b,c为三边长,所以c<,c>

9、a-b

10、,从而,所以sin2β>

11、cos2α·cos2β

12、.因为1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca),所以a2+b2+c2+4abc=1-2(a

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