应用高等数学 教学课件 ppt 作者 胡桐春ppt 3.2.2 定积分的计算.ppt

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1、定积分的计算一、变上限的定积分二、牛顿－莱布尼兹公式三、定积分的计算如果物体运动的速度函数为v=v(t)，那么在时间区间[a,b]内物体的位移s可以用定积分表示为另一方面，如果已知该变速直线运动的路程函数为s=s(t)，则在时间区间[a,b]内物体的位移为s(b)–s(a)，所以又有问题的提出:变速直线运动中位置函数与速度函数的联系由于，即s(t)是v(t)的原函数，这就是说，定积分等于被积函数v(t)的原函数s(t)在区间[a,b]上的增量s(b)–s(a).猜想一、变上限的定积分如果x是区间[a,b]上任意一点，定积分表示曲线y=f(x)在部分区间[a,x

2、]上曲边梯形AaxC的面积，如图中阴影部分所示的面积.当x在区间[a,b]上变化时,阴影部分的曲边梯形面积也随之变化，所以变上限定积分yxy=f(x)axbOACB是上限变量x的函数.记作(x)，即≤≤(x)定理5.1若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则变上限定积分在区间[a,b]上可导，并且它的导数等于被积函数，即定理5.1告诉我们，变上限定积分是函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，这就肯定了连续函数的原函数是存在的.所以，定理5.1也称为原函数存在定理.二、牛顿－莱布尼兹公式（微积分基本公式）牛顿－莱布尼兹公式（微积分基本公式）定理5.2如

3、果函数f(x)在区间[a,b]上连续，F(x)是f(x)在区间[a,b]上任一原函数，则牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，揭示了定积分与不定积分之间的内在联系.证明：三、定积分的计算法一：先求不定积分，找到被积函数的一个原函数，再利用牛顿-莱布尼兹公式求定积分；法二：定积分的换元积分法和分部积分法．★[引例3.9]计算分析:可直接书写为：例1计算下列各定积分：解：函数在[-1，2]

4、是分段函数，根据性质4，有例3计算解：令则原积分变量x的区间[0，4]变成了新积分变量t的区间[0，2].定积分的换元积分法换元必须同时换限例4计算定积分解：本例也可直接书写成：一般地，（定积分的分部积分公式）例5计算定积分解：利用定积分分部积分公式，例8设在[-a,a]上连续，证明证:则若f(x)为奇函数时，有则若f(x)为偶函数时，有则