应用高等数学 教学课件 ppt 作者 胡桐春ppt 3.1.1 不定积分的概念和性质.ppt

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1、不定积分的概念与性质一、原函数二、不定积分概念三、不定积分的几何意义四、不定积分的性质五、基本积分公式六、直接积分法引入前面我们研究了一元函数微分学的基本问题，即已知一个可导函数F(x),求它的导数。但在实际问题中，常会遇到与此相反的另一类问题。已知某函数的导数f(x),求函数F(x)。[引例3.1]设一质点以速度作直线运动，开始时，质点的位移为，求质点的运动规律．分析：求质点的运动规律就是寻找位移与时间的函数关系，有设所以即又即于是质点的运动规律为[引例3.2]设曲线上任意一点处的切线的斜率为，且曲线经过坐标原点，求曲

2、线的方程．分析：定义3.1若F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，则称F(x)为f(x)的一个原函数.一、原函数引例3.2中，可见:若，则对于任意常数，所以是的一个原函数，原函数存在定理：简言之：连续函数一定有原函数.思考：(1)原函数是否唯一？(2)若不唯一它们之间有什么联系？如果函数)(xf在区间I内连续，否，无数多个．仅相差一个常数．任意常数积分号被积函数被积表达式积分变量定义3.2如果函数F(x)是f(x)的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F(x)＋C(C为任意常数)称为f(x)的不定积分.即记作求

3、已知函数的不定积分，就是求它的一个原函数，再加上任意常数C．二、不定积分的概念解：即所以它对应的图形是一族积分曲线，称它为积分曲线族.三、不定积分的几何意义若y=F(x)是f(x)的一个原函数，则称y=F(x)的图形是f(x)的积分曲线.因为不定积分是f(x)的原函数的一般表达式，积分曲线族y=F(x)+C的特点是：当C>0时，向上移动；(1)积分曲线族中任意一条曲线，可由其中某一条(例如，曲线y=F(x))沿y轴平行移动

4、C

5、单位而得到.当C<0时，向下移动；(2)由于[F(x)+C]=F(x)=f(x)，即横坐标

6、相同点x处，每条积分曲线上相应点的切线斜率相等，都等于f(x)，从而使相应点的切线相互平行．xyOy=f(x)y=F(x)+C例2已知曲线上任一点的切线斜率等于该点处横坐标平方的3倍，且过点(0,1)，求此曲线方程.按题意，得得由条件y

7、x=0=1得C=1，y=x3+1.解：设所求曲线为y=f(x).于是所求曲线为四、不定积分的性质性质1求不定积分与求导（或求微）互为逆运算.设下面函数f(x)，g(x)，都是可积的.结论：若先积后微，作用相互抵消；若先微后积，则在抵消后加任意常数C。性质2被积函数中不为零的常数因子可以移

8、到积分号的前面.即性质3两个函数的和(或差)的不定积分等于各函数不定积分的和(或差)，即性质3可以推广到有限多个函数的情形．注意：实例启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.由此可计算五、基本积分公式基本积分公式特别地，有特别地，有（2）求积分解根据积分公式例3（1）求积分解根据积分公式六、直接积分法直接由积分基本公式和性质，或被积函数经过适当的恒等变形，再利用积分性质、积分基本公式求不定积分的方法，叫做直接积分法．解：例5求下列各不定积分：解（1）原式（2

9、）原式例5求下列各不定积分：解（3）原式（4）原式例6某产品的边际成本函数为，其中q为产品产量，已知固定成本为200元，求总成本函数．解：总成本函数为已知固定成本为200元，即代入上式得常数C=200元，于是总成本函数为七、小结（本节要点）八、练习与作业（1）课堂练习：P76练习题3.1（2）课外作业：练习册第三章练习一1、原函数2、不定积分概念3、不定积分的几何意义4、不定积分的性质5、基本积分公式6、直接积分法