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时间:2020-03-21
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1、斐波那契数列斐波那契数列的发明者,是意大利数学家列昂纳多·斐波那契(LeonardoFibonacci,生于公元1170年,卒于1240年,籍贯大概是比萨)。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年,他撰写了《珠算原理》(LiberAbacci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事,派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区,列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。 斐波那契数列指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、…… 这个数列从第三项开始,每一项都等
2、于前两项之和。 斐波那契数列通项公式通项公式 (见图)(又叫“比内公式”,是用无理数表示有理数的一个范例。) 注:此时a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3,n∈N*)通项公式的推导 斐波那契数列:1、1、2、3、5、8、13、21、…… 如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式: F(0)=0,F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥2), 显然这是一个线性递推数列。 方法一:利用特征方程(线性代数解法) 线性递推数列的特征方程为: X^2=X+1 解得 X1=(1+√5)/2,,X2=(1-
3、√5)/2。 则F(n)=C1*X1^n+C2*X2^n。 ∵F(1)=F(2)=1。 ∴C1*X1+C2*X2。 C1*X1^2+C2*X2^2。 解得C1=1/√5,C2=-1/√5。 ∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(n+1)-[(1-√5)/2]^(n+1)}(√5表示根号5)。 方法二:待定系数法构造等比数列1(初等待数解法) 设常数r,s。 使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。 则r+s=1,-rs=1。 n≥3时,有。 F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。 F(n
4、-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]。 F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]。 …… F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]。 联立以上n-2个式子,得: F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]。 ∵s=1-r,F(1)=F(2)=1。 上式可化简得: F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)。 那么: F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)。 =s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*F(n-2)。 =s^(n-1)+r*s^(n-2)+r
5、^2*s^(n-3)+r^3*F(n-3)。 …… =s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*s^(n-3)+……+r^(n-2)*s+r^(n-1)*F(1)。 =s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*s^(n-3)+……+r^(n-2)*s+r^(n-1)。 (这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和)。 =[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)。 =(s^n-r^n)/(s-r)。 r+s=1,-rs=1的一解为s=(1+√5)/2,r=(1-√5)/2。 则F(n)=(1/√5)*{[(
6、1+√5)/2]^(n+1)-[(1-√5)/2]^(n+1)}。 方法三:待定系数法构造等比数列2(初等待数解法) 已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3),求数列{an}的通项公式。 解:设an-αa(n-1)=β(a(n-1)-αa(n-2))。 得α+β=1。 αβ=-1。 构造方程x^2-x-1=0,解得α=(1-√5)/2,β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2。 所以。 an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2
7、)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1。 an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2。 由式1,式2,可得。 an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3。 an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a
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