斐波那契数列.doc

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1、斐波那契数列的探究如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子．假定在不发生死亡的情况下，由1对出生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子？每月底兔子对数是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……，50个月后是12586269025对．这就是著名的斐波那契数列．斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……●观察斐波那契数列项数之间有什么关系？从第三项开始每一项等于其前两项的和，即若用Fn表示

2、第n项，则有Fn=Fn-1+Fn-2（n≥3）．通过递推关系式，可算出任意项，不过，当n很大时，推算是很费事的．必须找到更为科学的计算方法．能否找到通项公式，并给予证明？1730年法国数学家棣莫弗给出其通项表达式[-]，19世纪初另一位法国数学家比内首先证明这一表达式，现在称之为——比内公式．1．下面研究一下该通项公式的来历已知：数列{an}满足a1=a2=1,a3=2，且an+2=an+1+an(n≥3),求an证明：（利用等比数列性质求解）构造常数A、B，使之整理得：与比较得解之得：A=、B=不妨取A=、B=得：∴是以

3、为首项，以为公比的等比数列。∴上式两边同除得：采用迭加：-=[++…+]==[-]∴[-]2．项间关系斐波那契数列有许多奇妙的性质，下面一起研究部分性质：（1）问题：观察相邻两项之间有什么关系？相邻两项互素，（）（2）1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…第3项、第6项、第9项、第12项、……的数字，有什么共同特点？能够被2整除．第4项、第8项、第12项，能够被3整除．第5项、第10项、……的数字，能够被5整除．你还能发现哪些类似的规律？（3）F1+F2+F3+…+Fn+1=Fn+2如果把前五加起

4、来再加1，结果会等于第七项；如果把前六项加起来，再加1，就会得出第八项．那么前n项加起来再加1，会不会等于第n+2项呢？提示：1+1+2+3+5+1=131+1+2+3+5+8+1=21由于每一项都是其前两项的和，所以　F1+F2+F3+…+Fn+1=Fn+2（4）如果分别对偶数项与奇数项做加法运算的话，情形又如何呢？1+2+5=81+2+5+13=211+1+3+8=131+1+3+8+21=34提示：我们可以得到下列的结果：能否给出证明？（5）不可思议的是，如果把第三项的平方加上第四项的平方会得到第七项．22+32=4

5、+9=1332+52=9+25=3482+132=64+169=233试试看其它的情形．F2n+F2n+1=F2n+1是不是都成立呢？（6）更不可思议的是，你能想象到吗，斐波那契数列与杨辉三角居然有联系？提示：111121133114641151010511615201561112813353．黄金分割把斐波那契数列中从第二项开始的每一项除以前一项，得到一个新的数列，并画出图象，分析新数列的特点．提示：1，2，1.5，1.67，1.6，1.63，1.615，1.619，1.618，.....　下图中横轴为n的值，纵轴为的取

6、值：看起来好像会趋近某个定值，大约为1.61……．这是为人所知的黄金比率,因此斐波那契的序列也称黄金序列，开普勒发现斐波那契数列的黄金比率．4．探究其它特性（五）联系生活1．生物学与斐波那契数列在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列．起绒草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋．很容易想像，如果从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向的，还有些是逆时针方向的．逆时针与顺时针的螺旋数就是斐波那契数列中相邻的两项．斐波那契数列在自然界中的出现是如

7、此地频繁，人们深信这不是偶然的。以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让人想到的是向日葵），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚．尽管这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契序列中的相邻数字．这样的螺旋被称为斐波那契螺旋．展示自然界中各种各样的斐波那契螺旋图片．（1）细察下列各种花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数：延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花．斐波那契数经常与花瓣的数目相结合：　　3

8、…百合和蝴蝶花　　5…蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草　　8…翠雀花　　13…金盏草　　21…紫宛　　34，55，84…雏菊（2）斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现．例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子(假定没有折损)，直至到达与那片叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波