斐波那契数列研究

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1、斐波那契数列研究一、斐波那契生平斐波那契（1175年-1250年），意大利数学家，西方第一个研究斐波那契数，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。有感使用阿拉伯数字比罗马数字更有效，斐波那契前往地中海一带向当时著名的阿拉伯数学家学习，约于1200年回国。1202年，27岁的他将其所学写进计算之书。这本书通过在记帐、重量计算、利息、汇率和其他的应用，显示了新的数字系统的实用价值。这本书大大影响了欧洲人的思想，可是在三世纪后印制术发明之前，十进制数字并不流行。欧洲数学在希腊文明衰落之后长期处于停滞状态，直到12世纪才有复苏的迹象。这种复苏开始是受了

2、翻译、传播希腊、阿拉伯著作的刺激。对希腊与东方古典数学成就的发掘、探讨，最终导致了文艺复兴时期（15〜16世纪）欧洲数学的高涨。文艺复兴的前哨意大利，由于其特殊地理位置与贸易联系而成为东西方文化的熔炉。意大利学者早在12〜13世纪就开始翻译、介绍希腊与阿拉伯的数学文献。欧洲，黑暗时代以后第一位有影响的数学家斐波那契，其拉丁文代表著作《算经》、《几何实践》等也是根据阿拉伯文与希腊文材料编译而成的，斐波那契，早年随父在北非从师阿拉伯人习算，后又游历地中海沿岸诸国，回意大利后即写成《算经》。《算经》最大的功绩是系统介绍印度记数法，影响并改变了欧洲数学的面貌。

3、现传《算经》是1228年的修订版，其中还引进了著名的“斐波那契数列”。《几何实践》则着重叙述希腊几何与三角术。斐波那契其他数学著作还有《平方数书》、《花朵》等，前者专论二次丢番图方程，后者内容多为菲德里克二世宫廷数学竞赛问题，斐波那契论证其根不能用尺规作出，他还未加说明地给出了该方程的近似解。微积分的创立与解析几何的发明一起，标志着文艺复兴后欧洲近代数学的兴起。微积分的思想根源部分（尤其是积分学）可以追溯到古代希腊、中国和印度人的著作。在牛顿和莱布尼茨最终制定微积分以前，又经过了近一个世纪的酝酿。二、《算盘原理》《算盘原理》中的“算盘”并非仅仅指罗马算

4、盘或某种计算工具。而是指一般的计算。全书共分为十五章。前7章介绍了位值制原理。整数和分数的各种计算方法，以及各种数表；8-12章以各种商业问题为例给出了许多算数的应用；第13章论述了比例和试位法；第14章讲述开方法则；最后一章则涉及到几何和代数问题。在其1228年的修订本中，又加进去有趣的“兔子问题”和著名的斐波那契数列:1,1,2,3,5,8,13,21,,从第三项开始每一项是前两项的和。《算盘原理》是向欧洲介绍印度一阿拉伯数码和阿拉伯数学的最早著作，自问世后广为流传，为印度一阿拉伯数码和阿拉伯数学在欧洲传播起了重要的作用，对欧洲数学的发展产生了巨大

5、的促进作用。三、斐波那契数列数列及其推导公式斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。斐波那契数列通项公式通项公式注：此时a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n＞二3,nWN*)通项公式的推导斐波那契数列：1、1、2、3.5、8、13、21.……如果设F(n)为该数列的第n项(neN+)o那么这句话可以写成如下形式：F(0)=0,F⑴=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(心2),显然这是一个线性递推数列。方法一：利用特征方程(线性代数解法)线性递推数列的特征

6、方程为：X2X+1解得X1=(1+V5)/2,,X2=(1-75)/2则F(n)=C1*xrn+C2*X2"nVF(1)=F(2)=1・・・C1*X1+C2*X2C1*X广2+C2*X2"2解得C1=V5/5,C2=-V5/5AF(n)=(V5/5)*{[(1+75)/21"n-[(1-75)/2]^}方法二：待定系数法构造等比数列1(初等代数解法)设常数r,s使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]则r+s=1,-rs=1n$3时，有F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n—1)—r*F(n-2)]F(n~1)~r*F(

7、n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]联立以上n-2个式子，得F(n)-r*F(n-1)=[s“(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]Vs=1-r,F(1)=F⑵=1上式可化简得：F(n)=s"(n-1)+r*F(n-1)那么：F(n)=s"(n-1)+r*F(n-1)=s'(n-1)+r*s"(n-2)+厂2*F(n-2)=s"(n-1)+r*s"(n-2)+r"2*s"(n-3)+r"3*F(n-3)=s"(n-1

8、)+r*s"(n-2)+r"2*s"(n-3)++r八(n-2)*s+r^(n-1)*F(1)