自动控制原理邹见效电子课件教学课件 第2章系统的数学模型.ppt

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1、第二章控制系统的数学模型本章内容2.1控制系统的时域数学模型2.2控制系统的复数域数学模型2.3控制系统的结构图/方框图2.4梅森公式与信号流图系统的数学模型数学模型描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统的数学模型。静态数学模型:在静态条件下（变量各阶导数为零），描述变量之间关系的代数方程称为静态数学模型动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程称为动态数学模型建模方法解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出

2、变量间的数学表达式，并实验验证。实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。解析方法适用于简单、典型、常见的系统，而实验方法适用于复杂、非常见的系统。实际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效。数学模型时域数学模型：微分方程、差分方程、状态方程复数域数学模型：传递函数、结构图频域数学模型：频率特性本节主要研究描述线性、定常、集总参量控制系统的微分方程的建立和求解方法2.1线性系统的时域数学模型线

3、性元件的微分方程一．微分方程：给定量和扰动量作为系统输入量，被控制量作为系统输出的一种系统描述方法单变量线性定常系统微分方程输出量在左，输入量在右，降阶排列。二．列写线性系统微分方程的主要步骤：分析系统工作原理，明确输入量、输出量列写各元件的运动方程式消除中间变量，只保留输入与输出量及导数化为标准形式三．线性元件微分方程的建立例2-1下图为由一RC组成的四端无源网络。试列写以U1（t）为输入量，U2(t)为输出量的网络微分方程。U1R1R2U2C1C2RC四端网络解：设回路电流i1、i2，由基尔霍夫

4、定律可列写方程组如下：(5)(4)(3)(2)(1)这就是RC组成的四端网络的数学模型，是一个二阶线性微分方程。例2-2弹簧—阻尼器系统,求xi与xo的关系。设弹簧的弹性系数为分别为K1,K2（N/m)，阻尼器的阻尼系数为f（N·s/m);取中间变量xm,分别对A、B两点受力分析例2-3求图2-2(a)、(b)所示机、电系统的微分方程并证明它们是相似系统(即两系统具有相同的数学模型)图(a)输入为Xr，输出为Xc，B1，B2为粘性阻尼系数，K1,K2为弹性系数根据力平衡，列出其运动方程式，得对电气网

5、络(b)，列写电路方程得相同的数学模型！相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。为利用简单易实现的系统（如电的系统）去研究机械系统提供了方便。一般来说，电或电子的系统更容易，通过试验进行研究。微分方程求解方法微分方程形式的数学模型在实际应用中一般会遇到如下的困难：1）微分方程式的阶次一高，求解就有难度，且计算的工作量大。2）对于控制系统的分析，不仅要了解它在给定信号作用下的输出响应，而且更重视系统的结构、参数与其性能间的关系。对于后者的要求，显然用微分方程式去描述是难于实现的。在控制工程中，一般并

6、不需要精确地求系统微分方程式的解，作出它的输出响应曲线，而是希望用简单的办法了解系统是否稳定及其在动态过程中的主要特征，能够判别某些参数的改变或校正装置的加入对系统性能的影响。叠加原理：可叠加性和齐次性线性系统的基本特性当f(t)=f1(t)时，上述方程的解为x1(t)；当f(t)=f2(t)时，上述方程的解为x2(t)；如果f(t)=f1(t)+f2(t),方程的解为x(t)=x1(t)+x2(t),这就是叠加性当f(t)=Af1(t)时，上述方程的解为x1(t)=Ax1(t),这就是齐次性绝对的

7、线性元件和线性系统不存在非线性微分方程的线性化实际物理元件或系统都是非线性的，构成系统的元件都具有不同程度的非线性。建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必要。线性化:在满足一定条件的前提下，用近似的线性系统代替非线性方程。线性化的基本条件:非线性特性必须是非本质的，系统各变量对于工作点仅有微小的偏离。小偏差线性法/切线法/微偏法:若非线性函数不仅连续，而且其各阶导数均存在，则由级数理论可知，可在给定工作点邻域将此非线性函数展开为泰勒级数，并略去二阶

8、及二阶以上的各项，用所得的线性化方程代替原有的非线性方程。线性化的方法:设一非线性元件的输入为x、输出为y，它们间的关系如图所示，相应的数学表达式为在给定工作点附近，将上式展开泰勒级数：若在工作点附近增量的变化很小，则可略去式中项及其后面所有的高阶项，这样，上式近似表示为：或写为即：线性化方程式中，严格地说，经过线性化后的所得的系统微分方程式，只是近似地表征系统的运动情况。实践证明，对于绝大多数的控制系统，经过线性化后所得的系统数学模型，能以较高的精度反映系统的实际运