线性代数课件考研专用 第五节线性方程组解的结构.ppt

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1、五、线性方程组解的结构一、线性方程组有解的判定定理线性方程组(3.16)其系数矩阵和增广矩阵分别记为,即如果记则线性方程组(3.16)可以写成(3.17)(3.17)称为线性方程组的向量形式。定理3.14线性方程组(3.16)有解的充分必要条件是:其系数矩阵与增广矩阵的秩相等，即推论1线性方程组(3.16)有唯一解的充分必要条件是推论2线性方程组(3.16)有无穷多组解的充分必要条件是例1判断线性方程组是否有解，是互不相等的数。解方程的增广矩阵是一个四阶方阵，其行列式为范德蒙得行列式已知互不相等，所以故而

2、系数矩阵A为4×3矩阵，所以于是线性方程组无解。例2试证：如果方程组有解则行列式证设线性方程组的系数矩阵和增广矩阵为由于线性方程组有解，可得矩阵A为矩阵，故而为(n+1)阶方阵，故方程组(3.16)对应的齐次线性方程组为(3.18)方程组(3.18)的增广矩阵比系数矩阵仅多一个零列，故总有因此齐次线性方程组(3.18)一定有解。(至少有零解)定理3.15齐次线性方程组(3.18)仅有零解的充分必要条件是推论齐次线性方程组(3.18)有非零解的充分必要条件是二、齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组(3.18

3、)的矩阵形式为其中为矩阵，若齐次方程组的解为记则向量就表示方程组(3.18)的一个解，也称为方程组的解向量。性质1若是齐次线性方程组的解，则也是方程组的解。性质2如果是齐次线性方程组的解，则对任意常数c，也是方程组的解。定义3.13设都是齐次线性方程组的解且(1)线性无关；(2)的任意解都可以由线性表示，则称是其次线性方程组的一个基础解系。定理3.16如果齐次线性方程组的系数矩阵的秩则方程组有基础解系，并且它的任一基础解系中解向量的个数为n–r。例3求齐次线性方程组的通解，并用基础解系表示。解对方程组的系

4、数矩阵施以初等行变换，化为简化阶梯形矩阵：所以,方程组的基础解系中含有2个解向量，取自由未知量由此又得到原方程组的同解方程组在此方程组中，分别取自由未知量为可得基础解系方程组的通解为，其中为任意常数。例4求齐次线性方程组的一个基础解系。并求方程组的通解。解方程组中方程个数小于未知量的个数，所以方程组有无穷多解。对方程组的系数矩阵施以初等行变换，化为简化的阶梯形矩阵：有最后的矩阵可知r(A)=2,所以方称组的基础解系含有5-2=3个向量。同时得到原方程组的同解方程组：可令自由未知量分别取得到原方程组的一个基

5、础解系：方程组的通解为其中为任意常数。例5设四元齐次线性方程组又已知另一齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为(为任意常数)(1)求线性方程组(Ⅰ)的通解；(2)线性方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解。解(1)齐次线性方称组(Ⅰ)的系数矩阵显然r(A)=2.取为未知量，方程组(Ⅰ)的同解方程组为得方程组(Ⅰ)的一个基础解系令自由未知量分别为，方程组(Ⅰ)的通解为(为任意常数)(2)解法1将方程组(Ⅱ)的通解代入方程组(Ⅰ)得解之得到当时，向量满足方程组(Ⅰ)。并且它也是方程组(Ⅱ)的

6、解，故它是方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解。因此方程组(Ⅰ)、(Ⅱ)的公共解为(为任意常数)(2)解法2若方程组(Ⅰ)、(Ⅱ)有非零解，则必有不全为零的数有即得即解得取则方程组(Ⅰ)、(Ⅱ)的公共解为(为任意常数)例6证明设A是矩阵，B是矩阵，且AB=0.证把矩阵B按列分块，设其中则由AB=0,可得考虑齐次线性方程组其中B的列向量都是方程组的解向量，所以方程组的任一基础解系所含向量的个数为n–r(A)由此得到即三、非齐次线性方称组解的结构非齐次线性方程(3.16)的矩阵形式为其中为矩阵，对应的齐次线性方程组称

7、为非齐次线性方程组的导出组。非齐次线性方程组的解与其导出组的解有下列性质：性质1若是非齐次线性方程组AX=b的一个解，是其导出组的一个解，则是方程组的解。性质2若是非齐次线性方程组AX=b的两个解，则是其导出组AX=0的解。定理3.17若是非齐次线性方程组AX=b的一个解，则方程组AX=b的任意一个解都可以表示为其中是其导出组AX=0的某个解，称为方程组AX=b的一个特解。例7求线性方程组的通解，并用其导出组的基础解系表示。解对方程组的增广矩阵施以初等行变换，化为简化的阶梯形矩阵：由此得原方程组的同解方程

8、组：令自由未知量得原方程组的特解对应的导出组分别取为得导出组的一给基础解系：所以原方程组的通解为(为任意常数)即例8已知是方程组的两个解，求此方程组的解，并用其导出组的基础解系表示。解已知方程组可记为AX=b,由于是方程组的两个解，所以在增广矩阵中，已有二阶子式所以由此可知因此方程组AX=b的导出组AX=b的导出组AX=0的基础解系中应含有3-2=1个解向量。由于是AX=0的基础解系。故原方程组的全部解为(为任意常数)