量子力学期末复习卷 3 .doc

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1、量子力学测试题（3）1、一维自由粒子的状态由波函数描述，求粒子的动量平均值和动能平均值。解：动量的可能值为，括号内四项系数平方和等于8，所以相应几率为4/8，1/8，1/8，1/8，1/8；动能平均值2、粒子作一维运动，，定态波函数为，即。（1）证明：，并求系数；（2）由此推导求和公式：；（3）证明：。解：（1）所以（2）因为所以（3）略见<量子辅导>典型例题3、限于，求的共同本征函数，表示成球谐函数的线性迭加。解：方法一时，的本征值为0及，由的轮换对称性可知（及）的本征值也为0及，相应的的共同本征函数记为，它们可以利用的共同本

2、征函数的具体函数形式通过的轮换求出。当时，则，不变。已知时，的本征函数经过的轮换适当选择因子后得方法二在表象中其本征函数为利用由本征方程得表示成球谐函数的线性迭加4、设在表象中，与微扰的矩阵表示为其中与分别是基态与激发态的零级近似能量，是微小量。（1）求基态的一级近似能量与零级近似波函数；（2）求激发态的二级近似能量与一级近似波函数。解:（1）基态能量是二度简并的，相应态矢为令零级近似波函数为展开系数满足由得基态的一级近似能量与零级近似波函数为（2）激发态能量是非简并的，二级近似能量与一级近似波函数5、一束速度为v自旋在轴方向极

3、化（）的中性粒子，沿轴方向通过宽为的均匀磁场区，磁场的方向为轴正方向。已知粒子具有自旋磁矩，为常数。（1）求粒子通过磁场区后其中与的粒子数目之比；（2）如果希望通过磁场后全部都是的粒子，磁场强度应取什么值？解：令粒子在t=0时进入磁场，在磁场区域内粒子的哈密顿量为由定态薛定谔方程得能量及相应本征函数为；已知任意t时刻的波函数（1）粒子通过磁场区后，将保持时的自旋态，即这时，粒子处于自旋向下与自旋向上态的几率之比（即通过磁场区后自旋向下与自旋向上的粒子数目之比）为（2）为了使通过磁场后全部粒子自旋均向下，须满足以下条件即