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1、培养创新思维增强数学素养浅谈数列的递推公式的应用递推数列是一类广泛而复杂的问题，其特点是：逻辑推理性强，求解方法开放，灵活。数列应用问题的特征是：内容广泛，对信息收集，语言转换和数据处理能力要求高，是高考的热点，是应用意识与能力培养的素质教育的一个好教材。递推数列的应用问题求解，主要迅运用转化思想，化归为两类基木数列（等差数列，等比数列）的问题，它把数学运用于实践，在实践屮发展能力，因此，在教学中有意识地从这两方面去培养学生的能力是有裨益的。木文以数列递推的应用为重点探讨数列应用问题求解思路，以期提高学生的适应高考的能力，提升学生解题的思维品质。一基本概念：递
2、推公式：如果已知数列的怦项（或前几项），而且数列的任一项3与它的前一项（或前几项）Z间的关系可用公式的形式，这个公式叫递推公式。二解决问题的两个要点：1探索化归：准确探索问题所涉及的数列的类型或准确定义问题屮的数列2列式建模：求出数列的通项公式或建立递推关系：%1如果问题所涉及的数列是特殊数列（如等差数列，等比数列，或与等羌，等比有关的数列）应先建立数列的通项公式。%1如果问题所涉及的数列不是某种特殊数列，一般应考虑先建立数列递推关系式。三基本题型：类型一：求形如an+i=an=f（n）的通项公式，其中f（n）的前n项和可求。方法：利用“累加法”求其通项。例1
3、：（2003年全国文科高考试题）已知数列｛%｝中坷=1,碍+严硯+3",求｛%｝的通项公式。解：由已知,当n>2时,an-an-=3,q“一2Cln-1-an-2=3，-a2=32,a°—a、=3,将以上ml个式子累加，得an-6z,=3+32+・・・+3"-2+3“t3(1_3”t)3"一31^3(n>2)3“一1•••an=—any-i2例2•已知数列｛aj中，apl,对任意白然数口都有，求&n。n(n+I)解：由已知，当n>2H1,2n(n+1)n-2(n-l)n2色一=-~~T，3x42血一4=——，累加，得-2x3J111Iana1二211…n{n
4、+1)(〃一1)/7(n-2)(A7-l)2x3fl1)=2o、2+1丿2/.an=2(/z>2)"H+1当n=l时，⑷也满足上式，所以{〜}的通项公式为例3.已知数歹ij{an},a】二2,an+i=an+3n+2,求。解：由已知得，当n>2吋色_色_1=3⑺一1)+2一。“_2=3(n-2)+2>(n一1)个式了相加得：色—cz°=3x2+2色一4=3x1+2an—6Z,=3[1+2++(〃一1)+2(兀一1)]=3X—+2(〃一1)32=—o22当n=l时，⑷也满足上式，所以｛%｝的通项公式为.3on•■ci=——"22练习：已知⑺“｝屮，绚=3,色+严
5、绻+2",求务。类型二求形如也=/"）的通项公式，其屮的前项和容易化简。方法：利用“累乘法”求其通项。例4.（2000年全国高考题）已知｛&｝为首项为1的正项数列，且（n+l）&]+1"一门&?+弘8门+尸0（门二1,2,3,…）,则弘二o分枷•：由已知得，（&】+1+缶）[（口+1）亦-晌]二0,得%_nan_n-①_2a?_17•••y7ann+1an_｝na23a｝2以上式了累乘，得啦=丄，得d]n+1.*.an=丄（n>2）n当”1时，⑷也满足上式，所以｛d“｝的通项公式为1an=~n方法2（叠加法）:由（*）式，记仇=nan,则仇+
6、-仇=0。利用
7、仇=b｝+（伏一勺）+（仇一®）+…+（仇一乞J=1+0+0+...+0=1得1an~~°n方法3（常数列）：由（*）式有（n+I）6Z/I+1=nan,可知｛血“｝是常数列。贝ijnan=1x%=1,得d“=丄。fl点评：（1）递推式加=/（〃），可用累乘求出通项；%（2）从形式与方法与基木型进行类比从而探求方法。例5：已知数列｛&｝中,&二1且anan+i=4n,求通项公式。分析：由anan+I=4n及务+已+2二俨，两式相除，得乞竺二4,则aba3,a5,…如,…和a2,a4,a6,・・・如,…都是公比为4的等比数列,a冋&2二4,贝ij：当n为奇数时，
8、an=4—；当n为偶数时,an=42o类型三：求形如cz“+]=pan+q的通项公式，其屮pq工0,pHI例6.已知⑺”｝满足a”=1,鑫+
9、=2色+1求通项公式。方法1：引入参数m,使得an+l-m=p｛an-m）解1：设色+]+加=2（%+加）aH+l=2an+m.・.m=l・・・仏”+】+n是以2为首项，2为公比为等比数列・•・%+1=2・2心=2"・・・an=2Z,-1方法2：根据递推公式递推。解2：当n>2时仏=2an-l+1=2(2暫_2+1)+1=2込_2+2+1=22(%+1)+(2+1)=2_3+(22+2+1)=2kan_k+(2一1+2
10、"2+…+2+1)=2-0—)+(2宀
