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1、No.DateTime稳定持久赢高分空间向量与立体几何答案四、典题探究例1.证明 取＝a，＝b，＝c，由已知SA⊥BC，SB⊥AC，即②－①得c·(b－a)＝0，则SC⊥AB.例2．解答：以C为坐标原点，射线CD为x正半轴，建立如空间直角坐标系Cxyz.设D(1,0,0)，则A(2,2,0)、B(0,2,0)．又设S(x，y，z)，则x＞0，y＞0，z＞0.(1)证明 A＝(x－2，y－2，z)，＝(x，y－2，z)，＝(x－1，y，z)，由
2、
3、＝
4、
5、得＝，故x＝1.由
6、
7、＝1得y2＋z2＝1，又由
8、
9、＝2得x2＋(y－2)2＋z2＝4，即y2＋z2－4y＋1＝0，故y＝，z＝.于
10、是S，＝，＝，＝，·＝0，·＝0，故DS⊥AS，DS⊥BS，又AS∩BS＝S，所以SD⊥平面SAB.(6分)(2)解 设平面SBC的法向量a＝(m，n，p)，则a⊥，a⊥，∴a·＝0，a·＝0.又＝，＝(0,2,0)，故取p＝2得a＝(－，0,2)．又＝(－2,0,0)，cos〈，a〉＝＝.故AB与平面SBC所成角的正弦值为.例3.(1)证明 因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD.从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.No.DateTime稳定持久赢高分又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.又AD∩PD＝D.所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.(2)解：如
11、图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0,0,1)．＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，＝(－1,0,0)．设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则即因此可取n＝(，1，)．设平面PBC的法向量为m，则可取m＝(0，－1，－)，则cos〈m，n〉＝＝－.故二面角APBC的余弦值为－.例4.证明(1)由已知条件A1(1,0,1)，F(1－x,1,0)，C1(0,1,1)，E(1，x,0)，＝(－x,1，－1)，＝(1，x－1，－1)，则·＝－x＋(x－1)＋1＝0，∴⊥，即
12、A1F⊥C1E.(2)＝(－x,1，－1)，＝(－1,1,0)，＝(0，x，－1)，设＝λ＋μ，解得λ＝，μ＝1.No.DateTime稳定持久赢高分∴＝＋.五、演练方阵A档（巩固专练）1.答案 C解析 ①中四点恰好围成一封闭图形，正确；②中当a、b同向时，应有
13、a
14、＋
15、b
16、＝
17、a＋b
18、；③中a、b所在直线可能重合；④中需满足x＋y＋z＝1，才有P、A、B、C四点共面．2．答案D解析∵cos〈a，b〉＝＝，又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝60°.3.答案A解析：设＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c，2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝25，因此
19、
20、＝5.4．
21、答案A解析∵v2＝－2v1，∴v1∥v2.5．答案ANo.DateTime稳定持久赢高分解析∵n＝(6，－3,6)是平面α的法向量，∴n⊥，在选项A中，＝(1,4,1)，∴n·＝0.6．答案A解析：由，得·(－)＝0，即·＝0，亦即·＝0，反之，若·＝0，则·(－)＝0⇒·＝·，未必等于0.7.解＝＋＋＝＋＋＝a＋b＋c.＝＋＝＋(＋)＝＋(－)＋(－)＝＋＋＝a＋b＋c.8.证明：如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，No.DateTime稳定
22、持久赢高分于是＝，设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)．则n·＝0，且n·＝0，得取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．又·n＝·(1，－1，－1)＝0，∴⊥n，又MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.9证明 ∵平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方形，∴AB、AP、AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0)．∴＝(2,0，－2)，＝(0，－1,0)，＝(1,1，－1)，设＝s＋t，
23、即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，∴解得s＝t＝2.∴＝2＋2，又∵与不共线，∴、与共面．∵PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG.10.证明：AB、AD、AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA＝AB＝BC＝1，则P(0,0,1)．(1)∵∠ABC＝60°，△ABC为正三角形．No.DateTime稳定持久赢高分∴C，E.设D(0，y,0)，由AC⊥CD，得·＝0，即y＝，则D，∴＝.又＝，∴·＝－×＋×＝0，∴⊥，即AE⊥CD.(
