数学归纳法的概念及其应用参考答案 李志民.doc

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1、数学归纳法的概念及其应用参考答案典题探究例1【解析】(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，等式成立；(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，那么当n＝k＋1时，左边＝1－＋－＋…＋－＋－＝＋－＝＋＋…＋＋＋＝＋＋…＋＋＝右边，所以当n＝k＋1时等式也成立．综合(1)(2)知对一切n∈N*，等式都成立．例２【解析】(1)当n＝1时，左边＝1＋，右边＝＋1，∴≤1＋≤，即命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k，则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＋＋…＋>1＋＋2k·＝1＋.又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋

2、<＋k＋2k·＝＋(k＋1)，即n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，命题对所有n∈N*都成立．例3【解析】证明　(1)当n＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除．(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，42k＋1＋3k＋2能被13整除，则当n＝k＋1时，方法一:42(k＋1)＋1＋3k＋3＝42k＋1·42＋3k＋2·3－42k＋1·3＋42k＋1·3＝42k＋1·13＋3·(42k＋1＋3k＋2)，∵42k＋1·13能被13整除，42k＋1＋3k＋2能被13整除．∴42(k＋1)＋1＋3k＋3能被13整除．方法二:因为[42(k＋1)＋1＋3k＋3]

3、－3(42k＋1＋3k＋2)＝(42k＋1·42＋3k＋2·3)－3(42k＋1＋3k＋2)＝42k＋1·13，∵42k＋1·13能被13整除，∴[42(k＋1)＋1＋3k＋3]－3(42k＋1＋3k＋2)能被13整除，因而42(k＋1)＋1＋3k＋3能被13整除，∴当n＝k＋1时命题也成立，由(1)(2)知，当n∈N＋时，42n＋1＋3n＋2能被13整除．例4【解析】　(1)S1＝a1＝得a＝1.∵an>0，∴a1＝1，由S2＝a1＋a2＝，得a＋2a2－1＝0，∴a2＝－1.又由S3＝a1＋a2＋a3＝得a＋2a3－1＝0，∴a3＝－.(2)猜想an＝－(n∈

4、N*)证明：①当n＝1时，a1＝1＝－，猜想成立．②假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，即ak＝－，则当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝－，即ak＋1＝－＝－，∴a＋2ak＋1－1＝0，∴ak＋1＝－.即n＝k＋1时猜想成立．由①②知，an＝－(n∈N*)．演练方阵1．【答案】　π【解析】　易得f(k＋1)＝f(k)＋π.2．【答案】　2k【解析】　n＝k时，左边＝1＋＋…＋，当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋…＋.所以左边应增加的项的项数为2k.3．【答案】　C【解析】观察等式左边的特征易知选C.4.【答案】B【解析】　因为假设n＝k(k≥2且k为偶数

5、)，故下一个偶数为k＋2，故选B.5.【答案】　D【解析】从n到n2共有n2－n＋1个数，所以f(n)中共有n2－n＋1项.6.解析：∵依题意得n2＝＝100,∴n＝10.易知m3＝21m＋×2,整理得(m－5)(m＋4)＝0,又m∈N*,所以m＝5,所以m＋n＝15.答案：157．【解析】(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即＋＋…＋＝，则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝＝＝＝，所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式都成立．8．【解析】(1)当n＝2时，左边＝1

6、＋＝；右边＝.∵左边>右边，∴不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立，即·…·>.则当n＝k＋1时，·…·>·＝＝>＝＝.∴当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．9.【解析】(1)当n＝1时，an＋1＋(a＋1)2n－1＝a2＋a＋1，能被a2＋a＋1整除．(2)假设n＝k(k∈N＋)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，那么当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝(a＋1)2[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋ak＋2－ak＋1(a＋1)2＝(a＋1)2[ak＋1＋(

7、a＋1)2k－1]－ak＋1(a2＋a＋1)能被a2＋a＋1整除．即当n＝k＋1时命题也成立．根据(1)(2)可知，对于任意n∈N＋，an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除．10．【解析】(1)由题意得a1＝1，b1＝－1，b2＝＝，a2＝1×＝，∴P2.∴直线l的方程为＝，即2x＋y＝1.(2)①当n＝1时，2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立．②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，2ak＋bk＝1成立．则2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝·(2ak＋1)＝＝＝1，∴当n＝k＋1时，2ak＋1＋bk＋1＝1也成立．由①②知，对于n∈N*

8、，都有2a