北京二模数学试题分类汇编：代数综合（教师版）A4.doc

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1、2012年北京市中考数学二模分类汇编——代数综合题整数根、系数是整数问题1.（昌平23．）已知m为整数，方程=0的两个根都大于-1且小于，当方程的两个根均为有理数时，求m的值．23．解：设．………………………………1分∵的两根都在和之间，∴当时，，即：．…………2分当时，，即：．……………3分∴．…………………4分∵为整数，∴．…………………………5分①当时，方程，∴此时方程的根为无理数，不合题意．②当时，方程，符合题意．③当时，方程，，不符合题意．综合①②③可知，．……………………6分2.（房山）23．）已知：关于x的方程

2、mx2－3(m－1)x＋2m－3=0.⑴当m取何整数值时，关于x的方程mx2－3(m－1)x＋2m－3=0的根都是整数；⑵若抛物线向左平移一个单位后，过反比例函数上的一点（-1,3），①求抛物线的解析式；②利用函数图象求不等式的解集.解：⑴⑵①②23．解：⑴当m=0时，x=1----------------------------1分当m≠0，可解得x1=1，x2=-----------------2分∴时，x均有整数根--------------------------------------3分综上可得时，x均有整数根⑵

3、①抛物线向左平移一个单位后得到y=m(x＋1)2－3(m－1)(x＋1)＋2m－3-------------4分过点（-1,3）代入解得m=3∴抛物线解析式为y=3x2－6x＋3----------5分②k=－1×3=－3-----------------------6分∴x>1或－1

4、．若为坐标轴上一点，且，求点的坐标．23．解：（1）证明：令，则．　　　　因为，1分所以此抛物线与轴有两个不同的交点．2分　（2）因为关于的方程的根为，　　由为整数，当为完全平方数时，此抛物线与轴才有可能交于整数点．　　　　　设（其中为整数），3分　　　　　　　　所以　．　　　　　　　　因为　与的奇偶性相同，　　　　　　　　所以　或　　　　　解得　．　　　　　经检验，当时，关于的方程有整数根．　所以　...................................5分　　　（3）当时，此二次函数解析式为　　　　，则顶点

5、的坐标为（）．　　　　抛物线与轴的交点为、．　　　　设抛物线的对称轴与轴交于，则．　　　　在直角三角形中，由勾股定理，得，　　　　　由抛物线的对称性可得，．　　　　　　又　，　即　　．　　　　　所以△为等腰直角三角形．且．　　　　所以　为所求的点．6分　　　若满足条件的点在轴上时，设坐标为．过作轴于，连结、．则．　　　由勾股定理，有；．　　即　．　解得　　．　　　所以为所求的点．7分　　　综上所述满足条件的点的坐标为（）或（）．4.（门头沟23）已知抛物线y＝ax2＋x＋2.(1)当a＝－1时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴；

6、(2)若代数式－x2＋x＋2的值为正整数，求x的值；(3)若a是负数时，当a＝a1时，抛物线y＝ax2＋x＋2与x轴的正半轴相交于点M(m，0)；当a＝a2时，抛物线y＝ax2＋x＋2与x轴的正半轴相交于点N(n，0).若点M在点N的左边，试比较a1与a2的大小.23.当a=-1时，y=-x2+x+2，∴a=-1,b=1,c=2.　∴抛物线的顶点坐标为(，)，对称轴为直线x=.……2分(2)∵代数式-x2+x+2的值为正整数，∴函数y=-x2+x+2的值为正整数.又因为函数的最大值为，∴y的正整数值只能为1或2.　　当y=1

7、时，-x2+x+2＝1，解得，…………3分　　当y=2时，-x2+x+2＝2，解得x3=0,x4=1.……………4分　　∴x的值为，，0或1.（3）　　当a＜0时，即a1＜0，a2＜0.　　经过点M的抛物线y=a1x2+x+2的对称轴为,　经过点N的抛物线y=a2x2+x+2的对称轴为.…………5分∵点M在点N的左边，且抛物线经过点(0,2)∴直线在直线的左侧……………6分∴＜.∴a1＜a2.…………………………………7分5．（怀柔23）已知抛物线(m为常数)．（1）若抛物线与轴交于两个不同的整数点，求m的整数值；（2）在（

8、1）问条件下，若抛物线顶点在第三象限，试确定抛物线的解析式；（3）若点M(x1，y1)与点N(x1＋k，y2)在（2）中抛物线上(点M、N不重合),且y1=y2.求代数式的值.23．解：（1）由题意可知，△==5－4m＞0，.…………………1分又抛物线与轴交于两个不同的整数点，∴5－4m为