线性规划问题中目标函数常见类型梳理.doc

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1、线性规划问题中目标函数常见类型梳理线性规划问题中目标函数的求解是线性规划问题的重点也是难点，对于目标函数的含义学生往往理解的不深不透，只靠死记硬背，生搬硬套，导致思路混乱，解答出错。本文将有关线性规划问题中目标函数的常见类型梳理如下，以期对大家起到一定的帮助。一基本类型——直线的截距型（或截距的相反数）由于线性规划的目标函数：可变形为，则为直线的纵截距，那么我们在用线性规划求最值时便可以得到如下结论：（1）当时，直线所经过可行域上的点使其纵截距最大时，便是z取得最大值的点；反之，使纵截距取得最小值的点，就是z取得最小值的点。（2）当时，与时情形正

2、好相反，直线所经过可行域上的点使其纵截距最大时，是z取得最小值的点；使纵截距取得最小值的点，便是z取得最大值的点。例1.已知实数x、y满足约束条件，则的最小值为（）A．5B．-6C．10D．-10分析：将目标函数变形可得，所求的目标函数的最小值即一组平行直线在经过可行域时在y轴上的截距的最小值的4倍。解析：由实数x、y满足的约束条件，作可行域如图1所示：当一组平行直线L经过图中可行域三角形ABC区域的点C时，在y轴上的截距最小，又，故-553OxyCABL的最小值为，答案选B。图1图2例2.设满足约束条件求的最大值和最小值。解：如图2作出可行域，

3、因为由图2可知过点B时纵截距最大，取得最小值，所以；过点A时纵截距最小，z在A（）处取最大值，5。二直线的斜率型例3.已知实数x、y满足不等式组,求函数的值域.解析：所给的不等式组表示圆的右半圆(含边界)，-22Oxy（-1，-3）-2可理解为过定点，斜率为的直线族．则问题的几何意义为：求过半圆域上任一点与点的直线斜率的最大、最小值．由图知，过点和点的直线斜率最大，．过点所作半圆的切线的斜率最小．设切点为，则过B点的切线方程为．又B在半圆周上，P在切线上，则有解得因此。综上可知函数的值域为三平面内两点间的距离型（或距离的平方型）例4.已知实数x、

4、y满足，则的最值为___________.解析：目标函数，其含义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方。由实数x、y所满足的不等式组作可行域如图所示：可行域为图中内部（包括边界），易求B（-2，-1），结合图形知，点(2,2)到点B的距离为其到可行域内点的最大值，；点(2,2)到直线x+y-1=0的距离为其到可行域内点的最小值，。-111Oxy（2，2）x+y-1=0-1ABC5四．变换问题研究目标函数例5.已知，且的最大值是最小值的3倍，则a等于（）A．或3B．C．或2D．解析：求解有关线性规划的最大值和最小值问题，准确画图找到可行域是关键.

5、如图所示，点和B点分别取得最小值和最大值.由，由得B(1，1).∴.由题意得故答案B。五综合导数、函数知识类例5.（山东省日照市2008届高三第一次调研）．已知函数，部分对应值如下表，的导函数，函数的图象如右图(-3,-3)42Oxy所示.若两正数a，b满足的取值范围是（）x－2041－11A．B．C．D．分析：本题的关键是如何从函数的导函数的图象中找到原函数的基本性质，将其与所给的函数性质联系起来。由导函数的图象可知，原函数在区间[-2,0]为单调递减函数，在区间（0，）为单调递增函数。结合题中提供的函数的数据可得，另外注意到的几何意义，转化为

6、线性规划问题可求解。解析：由导函数的图象可知，原函数在区间[-2,0]为单调递减函数，在区间（0，）为单调递增函数，又，故，而均为正数，可得可行域如图，的几何意义是可行域内的点和（-3，-3）连线的斜率的取值范围，故最大为点（0，4），此时为5，最小为点（2，0），此时为，所以答案B.基本不等式及其应用参考答案1-5CBABB6M>N7.48.209.10　15　2510.25　11.－212.1813.。14.解：（1）当且仅当，即时取等号，（2）15.解：（1）当时，；当时，所以当时解集为、当时解集为。（2）、解得的取值范围是。16、｛x｜－

7、2＜x＜3｝。17．略18．解：(1)把a＝2代入f(x)＝x＋中，得f(x)＝x＋＝x＋1＋－1.由于x∈[0，＋∞)，所以x＋1>0，>0.所以f(x)≥2－1.当且仅当x＋1＝，即x＝－1时，f(x)取得最小值，最小值为2－1.(2)因为f(x)＝x＋＝x＋1＋－1，设x1>x2≥0，则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)·.由于x1>x2≥0，所以x1－x2>0，x1＋1>1，x2＋1≥1.所以(x1＋1)(x2＋1)>1.而00.即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在[

8、0，＋∞)上单调递增．所以f(x)min＝f(0)＝a.19．解：(1)设引进该设备x年后开始盈利．盈利额为y万元．则y＝50x－98－