线性计划题目中目标函数罕见类型梳理7

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1、线性规划问题中目标函数常见类型梳理山东张吉林（山东省莱州五中邮编261423）线性规划问题屮目标函数的求解是线性规划问题的重点也是难点，对于目标函数的含义学牛往往理解的不深不透，只靠死记硕背，住搬硕套，导致思路混乱，解答出错。本文将有关线性规划问题中口标函数的常见类型梳理如下，以期对大家起到一定的帮助。一基本类型——直线的截距型（或截距的相反数）x+y>0例1.已知实数X、y满足约束条件｛兀一y+5A0，贝iJz=2x+4y的最小值为（）x<3A-5B.-6C.10D.-1017分析：将目标函数变形可得y=—%+-,所求的目标函数的最小值即一组平行直线=-*兀+b在经过可行域时在

2、y轴上的截距的最小值的4倍。解析：由实数x、y满足的约束条件，作可行域如图所示:当一组平行直线L经过图中口J行域三角形ABC区域的点C时，在y轴上的截距最小,又C（3,—3）,故z=2x+4y的最小值为in=2x3+4x（-3）=-6,答案选B。点评：深刻地理解冃标函数的含义，正确地将其转化为直线的斜率是解决本题的关键。二直线的斜率型X2+V2<4y+3例2•已知实数x、y满足不等式组'，求函数z=丄上的值域.x>0x+解析：所给的不等式组表示Mlx2+r=4的右半IMI（含边界），z二丄三可理解为过定点P(-l,-3),斜率为Z的直线族.则问题的儿何意义为：求过半圆X+1域x

3、2+/<4(x>0)±任一点与点P(-l,-3)的肓线斜率的最人、最小值.由图知，过点P和点4(0,2)的直线斜率最大，£=訂：[：=5.过点P所作半圆的切线的斜率最小.设切点为B(a,b),则过B点的切线方程为ax+by=4.乂B在半圆周上，P在切线上，则有[-2+3V6-1解析：目标函数w=/+),2_4兀_4)叶8=(兀_2Y+(y—2)2,其含义

4、是点(2,2)-与可行域内的点的距离的平方。由实数x、y所满足的不等式组作可行域如图所示：•(2,2)oB-1xcX+y・l=()可行域为图中ABC内部(包括边界)，易求B(-2,-1),结合图形知，点(2,2)到点B的距离为其到可行域内点的最大值，叫和=(_2_2尸+(-1-2)2=25；点(2,2)到直线x+y・l=0的距离为其到可行域内点的最小值,

5、2+2-1

6、_3a/2四点到直线的距离型例4.已知实数x、y满足2兀+y»1,求u=/+y2+4兀一2y的最小值。解析：目标函数弘二/+才+4工一2歹二(兀+2)2+(歹一1)2_5,其含义是点(-2,1)与可行域内的点的最小距

7、离的平方减5。由实数x、y所满足的不等式组作可行域如图所示(直线右上方)：••■•■■■•(-2,11y■•■•0%11\X22x+y=l点(21)到可行域内的点的最小距离为其到肓线2x+y=l的距离，由点到宜线的距离公式可求^=

8、2x(-2)+l-l

9、=4V5t^_5=16_5=_9V55552x+y-2>0同步训练：已知实数x、y满足兀-2y+4»0,则冃标函数z=x2+y2的最大值是—。3x-y-3<0答案:13；五变换问题研究目标函数>'>X例5.（山东潍坊08届高三）已知Jx+yS2,且Z=2x+y的最人值是最小值的3倍，则x>a等于（）1.、12’、2A・一或3B

10、.C.—或2D.—3355解析：求解有关线性规划的最大值和最小值问题，准确画图找到可行域是关键.如图所示，z=2兀+y在A点和B点分别取得最小值和最大值.由x-a.口+y=2得），由｛7得B（1f1）.••Zinax=min=彳。•由题意得a=-.故答案B。3六综合导数、函数知识类例6.（山东省日照市2008届高三笫-一次调研）.已知函数/（兀）的定义域为［-2,+8）,部分对应值如下表,广⑴为/（兀）的导函数,函数u的图象如右图所示•若两正数a,b满足f（2a+b）vl,则土的取值范围是d+3D・（冷,3）X-204f（x）1-11分析：木题的关键是如何从函数的导函数的图彖

11、中找到原函数的基木性质，将其打所给的函数性质联系起来。市导函数的图象可知，原函数在区间［・2,0］为单调递减函数，在区间(0,+00)为单调递增函数。结合题中捉供的函数的数据可得-2v2d+bv4,另外注意到心的几何意义，转化为线性规划问题可求解。Q+3解析：山导函数的图象可知，原函数在区间［・2,0］为单调递减函数，在区间(0,+00)为单调递增函数,又/(-2)=1,/(0)=-1,/(4)=1,故-2<2a+b<4f而均为正数,4•y0•2•(-3,-3)可得可行域如图，心