数列与不等式.doc

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1、数列与不等式一、求和与放缩1．设数列满足且.求的通项公式；(Ⅱ)设.2．已知数列满足，.猜想数列的单调性，并证明你的结论；(Ⅱ)证明：。3．设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。（I）求数列的通项公式；（II）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数，都有；（III）设数列的前项和为。已知正实数满足：对任意正整数恒成立，求的最小值。4．在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：．1．【解析】(Ⅰ)由题设,即是公差为1的等差数列.又,故.所以…………………………

2、…5分#(Ⅱ)由(Ⅰ)得,…………………………12分2．证（1）由由猜想：数列是递减数列下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证命题成立（2）假设当n=k时命题成立，即易知，那么=即也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立（2）当n=1时，，结论成立当时，易知3．（Ⅰ）当时，又数列成等比数列，其首项，公比是……………………………………..3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知=又当当（Ⅲ）由（Ⅰ）知一方面，已知恒成立，取n为大于1的奇数时，设则>对一切大于1的奇数n恒成立只对满足的正奇数n成立，矛盾。另一方面，当时，对一切的正整数n都有恒成立事实上，对任意的正整数k，

3、有当n为偶数时，设则<当n为奇数时，设则<对一切的正整数n，都有综上所述，正实数的最小值为4……………………………14分4．（Ⅰ）由条件得由此可得．2分猜测．4分用数学归纳法证明：①当n=1时，由上可得结论成立．②假设当n=k时，结论成立，即，那么当n=k+1时，．所以当n=k+1时，结论也成立．由①②，可知对一切正整数都成立．7分（Ⅱ）．n≥2时，由（Ⅰ）知．9分故综上，原不等式成立．12分二、函数不等式与放缩1．数列满足．（Ⅰ）求数列{}的通项公式；（Ⅱ）设数列{}的前项和为，证明．2．已知数列满足:,,；数列满足：（n≥1）.(Ⅰ)求数列，的通项公式;(Ⅱ)证明:数列中的任

4、意三项不可能成等差数列.（Ⅲ）证明：（n≥1）.3．已知数列的首项，，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）证明：对任意的，，；（Ⅲ）证明：．1．解：(Ⅰ)方法一：，所以．……3分所以是首项为，公差为的等差数列．……4分所以，所以．……6分方法二：，，，猜测．……2分下用数学归纳法进行证明．①当时，由题目已知可知，命题成立；……3分②假设当()时成立，即，那么当，，也就是说，当时命题也成立．……5分综上所述，数列的通项公式为．……6分（Ⅱ）　设则……8分函数为上的减函数，所以，即从而……10分……11分……13分……14分2．解：（Ⅰ）由题意可知，　　　　令　，则　　　　　又，则数列是首项

5、为，公比为的等比数列，即　　　　，故，又，故（Ⅱ）用反证法证明假设数列存在三项按某种顺序成等差数列，由于数列是首项为，公比为的等比数列，于是有，则只有可能有成立两边同乘3tt2t-r，化简得3t-r+22t-r=2*2t-r3t-s由于，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上上式不可能成立，导致矛盾。故数列中任意三项不可能成等差数列。（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知：当时，有。令，有当时，。令，有即，将上述个不等式一次相加得整理得解法二：用数学归纳法证明（１）当时，左边，右边，不等式成立（１）假设时，　不等式成立，　就是　　　　　　　　那么　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　由（Ⅱ）知

6、：当时，有令，有令，得：就是说，当时，不等式也成立。根据（1）和（2），可知不等式对任何都成立。3．解法一：（Ⅰ），，，又，是以为首项，为公比的等比数列．，．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，原不等式成立．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的，有．取，则．原不等式成立．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设，则，当时，；当时，，当时，取得最大值．原不等式成立．（Ⅲ）同解法一．三、综合1．数列和满足：(1)，；(2)当时，；当时，，()。（Ⅰ）如果，，试求，，，；（Ⅱ）证明数列是一个等比数列；（Ⅲ）设()是满足的最大整数，证明.2．已知数列中，，，其前项和满足（，）．（1）求数列的通项公式；（2）设为非零整数，

7、），试确定的值，使得对任意，都有成立．3．设是数列的前项和，对任意N总有，N且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）试比较与的大小；（Ⅲ）当时，试比较与的大小．4．已知数列{an}的相邻两项an，an+1是关于x的方程x2－2nx+bn=0(n∈N*)的两根，且a1=1.(1)求证：数列{an－×2n}是等比数列；(2)设Sn是数列{an}的前n项的和，问是否存在常数λ，使得bn－λSn>0对任意n∈N*都成立，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由.5．设数列满足,(1)求数