广义逆与Hyers--Ulam稳定性.pdf

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1、摘要我们知道，非线性问题一般很难求得精确解，但对Hyers．Ulam稳定性系统来说，由于Hyers-Ulam稳定性保证了近似解的存在性，我们无需再要求得精确解，从而为解决非线性问题提供了重要的理论依据．Hyers—Ulam稳定性研究源于S．Ulam对一般函数方程提出的问题：在什么条件下，一个给定方程近似解附近一定存在精确解?D．Hyers首先利用直接法在Banach空间框架内部分解决了Ulam的上述问题．T-Rassias引入无界Cauchy差分概念，将Hyers的定理推广至近似线性映射．之后，这类问题一般称为Hyers—U

2、lam(或Hyers-Ulam-Rassias)稳定性问题，这类稳定性称为Hyers—Ulam稳定性，并引起许多数学家的注意，得到了一系列重要成果，如S．Jung研究了Jensen泛函方程与1阶线性微分方程的Hyers-Ulam稳定性．T．Miura，S．Miyajima和S．Takahasi则考察了带常系数的n阶微分算子和带连续函数系数的1阶线性微分算子的Hyers—ulam稳定性．特别地，s．Takahasi，H．Takagi，T．Miura和S．Miyajima研究了一阶微分算子瓦：C1(尺，X)jc(R，X)的Hye

3、rs—Ulam稳定性，并对微分算子五的稳定性常数Krh提出了公开问题：映射hjK7jl具有什么性质?另一方面，H．Takagi，T．Miura和S．Takahasi在2003年考察了Banach空问中有界线性算子的Hyers-Ulam稳定性．而G．Hirasawa和T．Miura则在Hilbert空间中考察了闭线性算子的Hyers．U1锄稳定性．本文主要在Hilbert空问中建立了闭线性算子的Moore．Penrose逆与Hyers．Ulam稳定性之间的本质联系，利用广义逆扰动与表示理论给出了Hyers—Ulam稳定性常数砗

4、关于Moore—Penrose逆的具体表达式，并证明了映射丁寸Kr具有半连续性，同时给出了稳定性常数K，具有连续性和局部有界性的充要条件，从而部分回答了S．Takahasi等人提出的公开问题．定理设x，】，是Hilbert空间，T∈c(x，Y)具有Hyers—Ulam稳定性，5T∈g(x，Y)满足于：F+fiT∈c(x，】，)具有Hyers-Ulam稳定性．若116r11．1I丁+11-<昙(3+2√j)，则映射丁jKrJ是下半连续的．定理设X，Y是Hilbert空间，闭线性算子T∈c(x，y)具有Hyers—Ulam稳定性

5、，卯∈三(置y)满足D(丁)∈D(fT)且亍=T+ST∈c(x，】，)．若，+6刀+：】，一Y为双射，N-F歹U警B竺T(I+5TT下一M⋯ST)T⋯Y舾⋯⋯㈣Y26㈣32㈣784峨(1)=++)～=(，+丁+。1+：jX是丁的有界广义逆；(2)Y=R(-T)0N(T+)；(3)(，+r+ST)一1Ⅳ(丁)∈Ⅳ(亍)；(4)X=R(丁+)oⅣ(丁)．进一步，如果上述条件之一成立，那么R(于)是闭的，从而亍具有Hyers-Ulam稳定性且砗=伊II，其中亍+：{，一[丁+(，+6刀+)一17】”一IT+(I+5TTt)一1亍】

6、+)一1丁+(I+5TT’)一1{，一亓+(J+6刀+)～一[亓+(J+万刀+)一1】+)_1．设x，】，是Hilbert空间，闭线性算子T∈c(x，】，)具有Hyers—Ulam稳定性，5T∈B(X，】，)．若，+万刀+：YjY为双射，则下列命题等价：(1)B=丁+(，+6刀’)～=(，+丁+fiT)一1T+：Yjx是丁=T+ST的有界广义逆；(2)Y=R(r)0Ⅳ(F+)；(3)(J+丁+万F)一1Ⅳ(丁)∈Ⅳ(亍)；(4)X=R(T+)oⅣ(丁)；(5)歹具有Hyers-Ulam稳定性，且

7、

8、船。砗2Kr；(6)歹具有

9、Hyers．Ulam稳定性，且存在M>o，占>0，使得对任意06T[1

10、yensurestheexistenceofapproximatesolutions，SOitisunnecessarytogetexactsolutionsofthissystem．Itprovidesimportanttheoreticalbasisforsolvingsuchnonl