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1、.专业整理.第一章介绍幻方的基本知识1.1幻方的定义在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中,图中每一行,每一列以及每条对角线的几个数分别加起来所得的和都相等,具有这种性质的图表,称为“幻方”.这个相等的数称幻方常数或定数.幻方的每条边有几格,就叫做几阶幻方.阶幻方常数,记作.不难算出.例如将图1填成图2后,就成为一个4阶幻方.它的每一行,每一列以及每条对角线上个各数的和都等于常数.11415481110512769132316图1图21.2幻方的历史幻方的历史很悠久.幻方又称纵横图,九宫图,最早记录于我国古代的洛书.在古代,人们没有认识到幻方
2、是利用整数的某些特性构成的,而把它看成神秘的东西.关于幻方的起源,我国有“河图”和“洛书”之说.相传在远古时期,伏羲氏.学习帮手..专业整理.取得天下,把国家治理得井井有条,感动了上天,于是黄河中跃出一匹龙马,背上驮着一张图,作为礼物献给他,这就是“河图”,也是最早的幻方.伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦,后来大禹治洪水时,洛水中浮出一只大乌龟,它的背上有图有字,人们称之为“洛书”.“洛书”所画的图中共有黑,白圆圈45个.把这些连在一起的小圆和数目表示出来,得到九个.这九个数就可以组成一个纵横图,人们把由九个数3行3列的幻方称为3阶幻方,除此
3、之外,还有4阶,5阶... 后来,人们经过研究,得出计算任意阶数幻方的各行,各列,各条对角线上所有数的和的公式为 ,其中为幻方的阶数,所求的数为.幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中,这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律.而在国外,公元130年,希腊人塞翁才第一次提起幻方. 我国也是最早发现幻方的国家之一.公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方,记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中.在欧洲直到574年,德国著名画家丢勒才绘制出了完整的四阶幻方. 而在国外,十二世纪的阿拉伯文献也有六
4、阶幻方的记载,我国的考古学家们曾经在西安发现了阿拉伯文献上的五块六阶幻方,除了这些以外,历史上最早的四阶幻方是在印度发现的,那是一个完全幻方(后面会提到),而且比中国的杨辉还要早了两百多年,印度人认为那是天神的手笔.幻方又叫魔方,日本人称为方阵,我国.学习帮手..专业整理.称为纵横图或方宫图等.几千年来,人们没有中断过对幻方的研究.整数的这种变幻迷离的玄妙性质,自古以来吸引着无数的数学爱好者.人们不仅造出了各种幻方,还找出了其中的某些规律.到了本世纪60年代,有人应用数论的方法,证明了任何阶幻方的可构造性.随着科学的发展以及电子计算机的问世,幻
5、方这个颇似数学游戏的古典题目日也受到重视.现在已经有人编出任意高次的偶阶幻方的计算程序,并编入“CACM程序汇编”.目前,幻方正在组合数学,图论,博奕论以及程序设计.人工智能等等方面得到应用.1.3幻方的性质一．幻方的变换性质我们在学关于幻方的知识时,对幻方数间的关系,幻方的构造之谜等问题表现出了极大的兴趣.并提出：三阶幻方除了“每一行,每一列,每条对角线上的三个数字的和都是同一个常数15”这一性质外,还有其它的性质吗？将-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4这9个数分别填入下图方阵(幻方)中的9个空格中,使得横,竖,斜对角的3个数之和为0
6、.123412456753789896(1)(2)(3)6181-4375320-2294-34-1(4)(5)这种幻方是3×3幻方,通常是填1～9这9个数,使得各行,各列,.学习帮手..专业整理.斜对角的三个数之和为15.填法是:先从左到右,从上到下,将1～9这9个数依次填入幻方中（如（2））；然后中心的5不动，周围的8个数顺时针转一格（如（3））；再将（3）中的对角的数互换一下（如（4））,即为填1～9的答案.将（4）中每个数减去5（或加-5）,得（5）,即填-4～4的答案.其他填法与之类似.仔细体会上述填法从（4）到（5）这一步,我们发现
7、它事实上提出了幻方的一种变换方式：变换1将一个幻方中的各数同时加上（或减去）一个相同的数，得到的仍就是幻方.如,上面的图（4）中每一行,每一列以及每条对角线的几个数分别加起来所得的和都15,是个3阶幻方，那么由变换1知道把图（4）中的每行数字加上2或减去2可分别得到图（6）,图（7）.图（6）中每行，每列及每条对角线的几个数分别加起来所得的和是21，所以它是一个3阶幻方.同理，图（7）也是一个3阶幻方.6+21+28+26-21-28-27+25+23+27-25-23-22+29+24+22-29-24-2（6）（7）变换2将一个幻方中的各数
8、按一定顺序（从大到小或从小到大）与一个等差数列中的各数对应相加（或减），得到的还是幻方.如（8）,（9）就是在（4）的基础上按变换2得到的..学习帮手
