x2+(p+q)x+pq型多项式的因式分解

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1、x2+(p+q)x+pq型多项式的因式分解华师版《数学》八年级上十字相乘法x2+(p+q)x+pq型多项式的识别x2+(p+q)x+pq型多项式的因式分解经讨论分析得出十字相乘法，并利用十字相乘法分解形如：x2+(p+q)x+pq的多项式例题讲解课堂练习小结作业教学目标，重点难点教学目标：1了解形如x2+(p+q)x+pq型的多项式，2会用十字相乘法分解形如x2+(p+q)x+pq的多项式重点：利用十字相乘法分解因式。难点：常数项为正，分为两个同号的数相乘；常数项为负，分为两个异号的数相乘。观察：x2+5x+6x2+9x+18x2+15x+56x2+(p+q

2、)x+pqx2+(2+3)x+2×3x2+(3+6)x+3×6x2+(7+8)x+7×8x2+(p+q)x+pq观察以上各个多项式，分别从每个多项式的每一项的系数考虑，看看它们有没有什么共同点？第一项系数(即二次项系数)第二项系数(即一次项系数)第三项系数(即常数项)归纳第一项系数(即二次项系数）x2+(2+3)x+2×3x2+(3+6)x+3×6x2+(7+8)x+7×8x2+(p+q)x+pq第三项系数(即常数项)x2+(2+3)x+2×3x2+(3+6)x+3×6x2+(7+8)x+7×8x2+(p+q)x+pq第二项系数(即一次项系数)x2+(2+3

3、)x+2×3x2+(3+6)x+3×6x2+(7+8)x+7×8x2+(p+q)x+pq(1)二次项系数是1(2)常数项是两个数之积(3)一次项系数是常数项两个因数之和特点：因此以上例题我们都可以用x2+(p+q)x+pq的形式来表示那么我们来回顾一下x2+(p+q)x+pq是如何分解因式的:x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q)所以x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)利用这一结果我们可以直接将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解(1)x2+3x+2(

4、2)x2-7x+6例1(1)分析:x2+3x+2的二次项系数是1,常数项2=1×2,一次项系数3=1+2,可以写x2+(1+2)x+1×2的形式,所以:解:x2+3x+2=(x+1)(x+2)（2）分析:x2-7x+6的二次项系数是1,常数项6=(-1)×(-6),一次项系数-7=(-1)+(-6),同样可以写成x2+[(-1)+(-6)]x+(-1)×(-6)的形式,所以:解:x2-7x+6=(x-1)(x-6)从例1中我们可以看到对形如x2+(p+q)x+pq的多项式进行因式分解时,主要是通过讨论多项式各个项的系数来分解的,因此我们可以用一个简便的方法来

5、分解这一类因式,即十字相乘法.例如:分解x2+8x+121126x+2x+6解:原式=(x+2)(x+6)例如:分解x2-10x+21-3-711x-3x-7注意:处理系数时要带符号一起处理所以:原式=(x-3)(x-7)例2:(1)x2+x-2(2)x2-2x-15分析(1)x2+x-2的两次项系数是1,常数项-2=(-1)×2,一次项系数1=(-1)+2,得:11-12x-1x+2所以,原式=(x-1)(x+2)(2)x2-2x-15熟练之后,可以直接用十字相乘法如下:-5113所以,原式=(x+3)(x-5)归纳填空:(1)常数项是正数时,它分解成两个

6、_______号因数,它们和一次项系数符号_____.(2)常数项是负数时,它分解成两个_______号因数,其中绝对值较______的因数和一次项系数符号相同.同相同异大课堂练习(1)x2+4x+3(2)a2+7a+10(3)y2-7y+12(4)q2-6q+8(5)x2+x-20(6)m2+7m-18(7)p2-5p-36(8)t2-2t-8课堂小结:把一个多项式分解的一般步骤是1如果多项式各项有公因式,那么先提公因式.2如果各项没有公因式,可以尝试用公式来分.3如果上述方法不能分解,可以尝试用分组分解法分解.4因式分解,必须进行到每个多项式因式不能分解

7、为止.例3:(1)x2y2-5x2y+6x2(2)81x5y5-16xy分析书写过程解：(1)x2y2-5x2y+6x2第一步：先提出各项的公因式x2，得到：x2y2-5x2y-6x2=x2(y2-5y+6)第二步：用十字相乘法继续分解y2-5y+6-2-311可得：原式=(x–2)(x–3)解：81x5y5-16xy第一步：先提出各项的公因式xy，得到：81x5y5-16xy=xy(81x4y4-16)第二步：用平方差公式，得到：可得：原式=(x–2)(x–3)原式=xy(9x2y2+4)(9x2y2-4)第三步：再运用平方差公式，得到：原式=xy(9x2

8、y2+4)(3xy+2)(3xy-2)(1)x2y2