立体几何二面角5种常见解法.doc

立体几何二面角5种常见解法.doc

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1、立体几何二面角大小的求法二面角的类型和求法可用框图展现如下:            一、定义法:直接在二面角的棱上取一点(特殊点),分别在两个半平面内作棱的垂线,得出平面角,用定义法时,要认真观察图形的特性;POBA例、如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β.求∠APB的大小.例、在四棱锥P-ABCD中,ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=a,求二面角B-PC-D的大小。二、三垂线定理法:已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角;例、在四棱锥P-ABC

2、D中,ABCD是平行四边形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=a,∠ABC=30°,求二面角P-BC-A的大小。  例、(2003北京春)如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,侧棱AA1长为1,底面为正方体且边长为2,E是棱BC的中点,求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值.ABCDA1B1C1D1EO例、ΔABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M,二面角P—AC—B的大小为45°。求(1)二面角P—BC—A的大小;(2)二面角C—PB—A的大小CDPMBA例、(2006年陕西试题)

3、如图4,平面⊥平面,∩=l,A∈,B∈,点A在直线l上的射影为A1,点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1,BB1=,求:二面角A1-AB-B1的大小.图4B1AA1BLEF三、垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角,由此可知,二面角的平面角所在的平面与棱垂直;PlCBA例、空间的点P到二面角的面、及棱l的距离分别为4、3、,求二面角的大小.四、射影法:(面积法)利用面积射影公式S射=S原cos,其中为平面角的大小,此方法不必在图形中画出平面角;例、在四棱锥P-ABCD中,ABC

4、D为正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=a,求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。       例、如图,设M为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点,求平面BMD1与底面ABCD所成的二面角的大小。AHMD1C1B1A1BCD五、平移或延长(展)线(面)法对于一类没有给出棱的二面角,应先延伸两个半平面,使之相交出现棱,然后再选用上述方法(尤其要考虑射影法)。例、在四棱锥P-ABCD中,ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=a,求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。

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