立体几何题型总结.docx

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1、立体几何类型题如图所示，在四棱锥中，平面，又，，且.（Ⅰ）画出四棱准的正视图；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）求证：棱上存在一点，使得平面，并求的值.（Ⅰ）解：四棱准的正视图如图所示.………………3分（Ⅱ）证明：因为平面，平面，所以.………………5分因为，，平面，平面，所以平面.………………7分因为平面，所以平面平面.………………8分（Ⅲ）分别延长交于点，连接，在棱上取一点，使得.下证平面.………………10分因为，，所以，即.所以.所以.………………12分因为平面，平面，所以平面.………………14分2如图所示，四

2、棱锥的底面是直角梯形，，，，底面，过的平面交于，交于（与不重合）．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）如果，求此时的值．证明：（Ⅰ）因为梯形，且，又因为平面，平面，所以平面．因为平面平面=，所以．……………………4分（Ⅱ）取的中点，连结．因为，，所以，且．因为，且，所以是正方形．所以.又因为为平行四边形，所以且所以．又因为底面，所以．因为，所以平面，因为平面，所以．（Ⅲ）过作交于，连结．因为底面，所以底面．所以．又因为，，所以平面，所以．由（Ⅱ）知，所以在平面中可得是平行四边形．所以，因为是中点，所以为中点．所

3、以．3如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，平面SAD⊥平面ABCD，SA=SD，E，P，Q分别是棱AD，SC，AB的中点．（Ⅰ）求证：PQ∥平面SAD；（Ⅱ）求证：AC⊥平面SEQ；（Ⅲ）如果SA=AB=2，求三棱锥S-ABC的体积．（Ⅰ）证明：取SD中点F，连结AF，PF．因为P，F分别是棱SC，SD的中点，所以FP∥CD，且FP=CD．又因为菱形ABCD中，Q是AB的中点，所以AQ∥CD，且AQ=CD．所以FP//AQ且FP=AQ．所以AQPF为平行四边形．所以PQ//AF

4、．又因为平面，平面，所以PQ//平面SAD．…………………5分（Ⅱ）证明：连结BD，因为△SAD中SA=SD，点E棱AD的中点，所以SE⊥AD．又平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD平面ABCD=AD，SE平面，所以SE⊥平面ABCD，所以SE⊥AC．因为底面ABCD为菱形，E，Q分别是棱AD，AB的中点，所以BD⊥AC，EQ∥BD．所以EQ⊥AC，因为SEEQ=E，所以AC⊥平面SEQ．…………………11分（Ⅲ）解：因为菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=2，所以==．因为SA=AD=SD=2，E是AD

5、的中点，所以SE=．由（Ⅱ）可知SE⊥平面ABC，所以三棱锥S-ABC的体积=．…………………14分4．如图，在三棱柱中，侧棱底面，为棱中点.，，．（Ⅰ）求证：//平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）在棱的上是否存在点，使得平面⊥平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，说明理由．（Ⅰ）连结交于，连结．在中，因为，分别为，中点，所以//．又因为平面，平面，所以//平面．……………………4分（Ⅱ）因为侧棱底面，平面，所以．又因为为棱中点，，所以．因为，所以平面．所以．因为为棱中点，，所以．又因为，所以在和中，．所以，即

6、．所以．因为，所以平面．……………………10分（Ⅲ）当点为中点时，即，平面平面．设中点为，连结，．因为，分别为，中点，所以//，且．又因为为中点，所以//，且．所以//，因为平面，所以平面．又因为平面，所以平面平面．……………………14分