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1、数学探究性学习与教学实践-求递推数列的通项教学一例刘学军（广东省开平市风采华侨中学529300）新数学课程标准提岀：学生的数学学习应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的"再创造”过程7这一理念要求教师关注学生学习的主动性，引导学生进行探究活动•本文是高三复习求递推数列的通项的一•个探究性学习案例实录，兼笔者对数学课堂探究性学习的反思.一、教学过程1.问题引动，温故知新H递推数列问题是高考中的热点，许多数列的通项都是山递推关系给出.如果给出递
2、推数列关系式，又如何求它的通项呢？现在我们來探讨具体问题.问题1:已知数列[an｝满足坷=1,匕屮=j+2",求数列｛an｝的通项.教师引导学生观察、比较，激起学生的探究兴趣•（学生思考，讨论）形式上似等差数列递推公式6?/f+l=alt+d（〃为滋数），但2〃是个与允有关的变量,学生2
3、在求等差数列的通项时，可以用累加法.对于问题1,虽然数列｛色｝不是等差数列，也可以用累加法.gg如何用累加法？能把你的求解过程写出来吗？（请学生2板演，教师巡视）在学生解题过程屮，教师通过巡视了解到有的同学用累加法求解，有的同学用逐差
4、法求解，少数同学不会求解.（学生2的板演过程）解：山已知，得色=勺_+2心，％_]=勺_2+2"一2，…，°2=纠+2,将以上各式相加,得匕=4+2+2?…2山=2"-1awl好！（评价学生2的解法）还有其它解法吗？（让用逐差法求解的同学亮出观学生3
5、还可以用逐差法求解，山％+]=色+2",得e冲一％=2",则ciu=a〕+（Q->_q）+（偽_⑦）•…+（Q“_%一I）=]+2+2~…2"
6、=2"—1（用多媒体演示学生3的解题过程）教师
7、很好！我们把问题1的递推关系式记为：色+
8、=%+/（刃），求这类递推数列的通项的
9、方法是累加法或逐差法.2.类比推理，探究规律麺从大家解决问题的过程可以发现，对■于形如％+
10、=%+/（斤）的数列的通项的解法掌握还不错！请人家继续探讨以下问题.YI问题2：已知数列｛a“｝满足Q]=l,an+i=an,求数列｛%｝的通项。«+1（学生自主探究，合作交流）讨论气氛热烈，学习情绪高涨.（教师巡视）参与学生的讨论麺同学们找到解决问题的方法吗？学生5
11、类比问题1,对于问题2,可以用累乘法.（教师请学生5板演）学生5的解题过程如下/?—]n—21解：曲己知，得an=an_｝,an_｝=an_o,…，•—，将以上各
12、式相n~n-1~2rZ
13、112n-1I乘，Wan=a.=—23nngg（评价学生5的解题过程）还有其它方法吗？（鼓励学生继续探究）学生4还可以用逐商法.（学生6展示自己的解决问题的方法）解:山已知，得旦二——an+1aAa2atl_{zJnn教师
14、好！我们把问题2的递推关系式记为：。曲=色•/（/?）.求这类递推数列的通项的方法是累乘法或逐商法.1.层层推进，深化探究麵解决了问题1、2后，述有什么样的递推数列的通项要我们求解呢？大家能结合自C所学，挖掘更多的求解递推数列的通项的方法吗？请看问题问题3：已知数列｛色｝满足
15、坷=1,6Z„+I=2an+3,求数列血｝的通项.数厕用解决问题1、2的方法行吗？大家开展讨论，寻找方法！（学生兴奋起來，有的紧张思考，有的热烈讨论）（教师巡视，引导学生思考）学生目刚才的方法不行•如果a”系数是1就可以化为等差数列；又或是常数3为0也可以化为等比数列，但都不是，……能否化为等差或等比数列求解？H此题应该有特点，只是同学们没找到！注意递推式具有一般性！（教师及时引导）山a曲=2%+3,得①=2存]+3,两式相减得色+】一陽=2（色—孤），｛°呵一5｝是首项为^2-^=4,公比为2的等比数列.所以6/n+
16、1-an=4x2"-1=2,,+1,将皱+i=2a/t+3代入得a”+3=2n+t,所以色=2,,+,-3学生9求解成功以后，表现的眉飞色舞！有一种成就感、白豪感，把学习探究变成自己生活中的一件乐事！（教师要求学生再探讨）学生训山学生9的解法，给了我启示，能否构造一个等比数列呢?顽想法很好！（赞成学生10观点）你如何构造一个等比数列？学生10
17、设色+]+2=2（色+2）,即色+严2%+；1,从而2=3,故陽+i+3=2（d“+3）,所以｛an+3｝是首项为4+3=4,公比为2的等比数列•所以a“+3=4x2"J=2"+
18、】，所以an=2n+}-3教师
19、上面两种解法的异同点是什么？相同的是构造等比数列，不同的是一•种用待定系数法构造等比数列，另一种用两式相减法构造等比数列.教帅
20、把问题3的递推关系式记为：求这类递推数列的通项的方法就是构造等比数列法.1.归纳总结、拓展思维教师
21、通过探讨、分析、比较、归纳，我们探究了形如色+严色+/（刃）、a^=an
