平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(第4讲VNM效用函数与风险升水).doc

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2、，则可得该消费者的风险规避系数为：。2．证明：若一个人的绝对风险规避系数为常数，则其效用函数形式必为，这里代表财产水平。证明：这是一个求积分的问题，即由绝对风险规避系数来倒求效用函数。根据绝对风险规避系数的定义，就有：对等式（1）最后一个等号两边积分得：即：。进一步整理得：①其中，对①式两边积分得：其中为任意实数。根据效用函数的单调递增特性可知（因为如果，就说明财富越少，消费者的效用就越高，这不符合正常的情况）。又因为效用函数的单调变换不改变它所代表的偏好，所以表示的偏好也可以用表示。3．若一个人的效用函数为，证明：其绝对风险规避系数是财富的严格

3、增函数。证明：由效用函数，可得，，则该消费者的绝对风险规避系数为：其中。因此，当时：即绝对风险规避系数是财富的严格增函数。4．设一种彩票赢得900元的概率为0.2，而获得100元的概率为0.8。计算该彩票的期望收入。若一个人对该彩票的出价超过彩票的期望收入，请写出这个人的效用函数形式。（形式不唯一）。答：（1）用表示风险收入，那么该风险收入的期望值为：（元）（2）如果此人对该彩票的出价超过彩票的期望收入，说明他是风险喜好者（如图4-1所示）。一个可能的效用函数是。图4-1风险爱好者的效用函数5．证明：在下列效用函数中，哪些显示出递减的风险规避行为

4、：（1）；（2）；（3）；（4）。答：递减的风险规避行为是指随着消费者财富的增加，他的风险厌恶程度会逐渐减弱，也就是说他的绝对风险规避系数关于财富数量是递减的。（1）因为，所以，关于财富求导得：因此，该效用函数显示出递减的风险规避行为。（2）因为，，所以，这就意味着，因此该效用函数不显示出递减的风险规避行为。（3）因为，，所以，关于财富求导得：因此，该效用函数显示出递减的风险规避行为。（4）因为，，所以，关于财富求导得：因此，该效用函数不显示出递减的风险规避行为。6．一个具有VNM效用函数的人拥有160000单位的初始财产，但他面临火灾风险：一种

5、发生概率为5%的火灾会使其损失70000；另一种发生概率为5%的火灾会使其损失120000。他的效用函数形式是。若他买保险，保险公司要求他自己承担前7620单位的损失（若火灾发生）。什么是这个投保人愿支付的最高保险金？解：用表示保费，那么投保人购买保险的期望效用为：投保人不购买保险的期望效用为：当投保人支付最高保险金时，他对买保险与不买保险的期望效用相同，即：从而解得，故此投保人愿支付的最高保险金为11013。7．考虑下列赌局：表4-1不同概率分布的赌局上表内，矩阵中的数字代表每一种结果的发生概率（比如，在赌局1中，发生10000元的概率为0.1

6、）。如果有人告诉你，他在赌局“1”与“2”之间严格偏好于“1”，在赌局“3”与“4”之间严格偏好于“3”。请问他的选择一致吗？请做出说明。答：赌徒的选择不一致。理由如下：由于该赌徒在赌局“1”与“2”之间严格偏好于“1”，这就说明赌局“1”可以带给他更大的效用，即：整理上式得：（1）由于该赌徒在赌局“3”与“4”之间严格偏好于“3”，这就说明赌局“3”可以带给他更大的效用，即：整理上式得：（2）对比（1）式和（2）式，就可以知道赌徒的选择不一致。8．两匹马A与B赛跑。李某对该赛马打赌。马A与B之间，或A赢，或B赢，无平局。李某按下列偏好序对打赌进

7、行排序：（1）他在A上下赌注2元，若A赢了，则会获得元；若A输了，则分文无收；（2）不赌；（3）他在B上下赌注2元，若B赢了，他会获得元；若B输了，则分文无收。根据上述排列顺序能得出结论说，李某相信A获胜的概率大于吗？如果李某是风险规避的，可以知道的值吗？解：（1）根据上述排列顺序可以得出结论：李某相信A获胜的概率大于。理由如下：设A获胜的概率，B获胜的概率，因为李某对（1）、（2）、（3）三种情况的偏好顺序为：（1）（2）（3），所以（1）、（2）、（3）三种情况带给李某的期望效用也是递减的，即：整理上述不等式，就有：①根据以及效用函数单增的特

8、性，可知：这样①式就意味着，再结合，就有。（2）如果李某是风险规避的，可以知道的值。理由如下：由于李某是风险规避的，所以财富的期望值带给