平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(第2讲 间接效用函数与支出函数)_1

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2、的需求函数。并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。解：（1）①当时，消费者的效用最大化问题为：构造拉格朗日函数：对、和分别求偏导得：①②③从①式和②式中消去后得：④再把④式代入③式中得：⑤从而解得马歇尔需求函数为：由⑤式可知：当时，，消费者同时消费商品1和商品2。将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→经济学历年考研真题及详解Borntowin经济学考研交流群<<<点击加入②当时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。从而解得马歇尔需求函数为：

3、将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：（2）①当时，此时的间接效用函数为：将间接效用函数分别对、和求偏导得：由罗尔恒等式，得到：②当时，间接效用函数为，将间接效用函数分别对、和求偏导得：由罗尔恒等式，得到：（3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。2．某个消费者的效用函数是，商品1和2的价格分别是和，此消费者的收入为，求马歇尔需求函数和支出函数。解：（1）消费者的效用最大化问题为：构造该问题的拉格朗日函数：985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→经济学历年考研真题及详解Bor

4、ntowin经济学考研交流群<<<点击加入拉格朗日函数对、和分别求偏导得：①②③从①式和②式中消去后得：④把④式代入③式中得：⑤把⑤式代入④式中得：⑥⑤式和⑥式就是商品1和2的马歇尔需求函数。将马歇尔需求函数代入直接效用函数中，可得间接效用函数：由于支出函数与间接效用函数互为反函数，得支出函数为：3．试根据间接效用函数求出相应的马歇尔需求函数，这里表示收入。解：由间接效用函数可得：，，。根据罗尔恒等式可知商品1和商品2的马歇尔需求函数分别为（其中或2）：985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→经济学历年考研真题及详解Borntowi

5、n经济学考研交流群<<<点击加入4．考虑一退休老人，他有一份固定收入，想在北京、上海与广州三城市中选择居住地。假定他的选择决策只依赖于其效用函数，这里。已知北京的物价为，上海的物价为，并且，但，。又知广州的物价为。若该退休老人是理智的，他会选择哪个城市去生活？解：老人的效用最大化问题为：构造该问题的拉格朗日函数：拉格朗日函数对、和分别求偏导得：①②③由①②③三式求解，可得：，。将上述两式代入目标式中就得到了老人的间接效用函数：于是他在北京、上海、广州三地的效用分别为：因为，所以。又因为，由于已知，所以该不等式的等号并不成立，则有。综合上述分析可知：若该退休

6、老人是理性的，则他会选择在北京或上海生活，但不会选择去广州生活。5．（1）设，这里，求与该效用函数相对应的支出函数。（2）又设，这里，，求与该效用函数相对应的支出函数。985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→经济学历年考研真题及详解Borntowin经济学考研交流群<<<点击加入（3）证明：，其中。答：（1）消费者的支出最小化问题为：构造该问题的拉格朗日函数：拉格朗日函数对、和分别求偏导得：①②③由上述三式解得：，。把两式代入目标函数式中，就得到了消费者的支出函数：（2）消费者的支出最小化问题为：构造该问题的拉格朗日函数：拉格朗日函

7、数对、和分别求偏导得：①②③由①②③三式可解得：，。把上述两式代入目标函数式中，就得到了消费者的支出函数：985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→经济学历年考研真题及详解Borntowin经济学考研交流群<<<点击加入（3）证明：根据（1）与（2）的结果，可得。6．设某消费者的间接效用函数为，这里。什么是该消费者对物品1的希克斯需求函数？答：根据间接效用函数与支出函数是反函数的关系，由于消费者的间接效用函数为，从中反解出关于、和的表达式，并用替换，就得到了消费者的支出函数：根据谢泼特引理，可知物品1的希克斯需求函数为：7．考虑含种商

8、品的Cobb-Douglass效用函数，这里，。（1）求每种商品的