数值分析期末论文.doc

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1、数值分析课程实验报告实验名称数值积分班级姓名学号序号教师地点数学实验中心评分一、实验目的①体会数值积分的基本概念；②掌握低阶的插值型数值积分公式；③掌握区间逐次分半的复化求积方法；④掌握龙贝格算法的基本思路和迭代步骤；二、用文字或图表记录实验过程和结果(1)梯形公式：(2)Simpson（辛普生）公式：(3)复化梯形公式设计算法如下：①输入求积区间及精度要求，令，计算②，，计算②若，则停止，即为所求；否则，，转②（4）复化Simpson设计算法如下：①输入求积区间及精度要求，令，计算②，，计算③若，则停止，即为所求；否则，，转②（5）龙贝格算法描述①输

2、入求积区间，精度控制值，最大循环次数，以及被积函数，令②对，计算下列各式，若，计算若，计算若，判断：若，则停止计算，为所求；③若,则算法失效！一、练习与思考题分析解答计算积分：精度要求。（1）编写程序，分别用梯形公式、Simpson公式计算上述积分的近似值。并对计算结果作一比较。（参考结果：T=0.68394S=0.74718）（2）编写程序，分别用区间逐次分半的复化梯形公式和区间逐次分半的复化Simpson公式计算上述积分的近似值，比较它们的迭代次数。（参考结果：复化梯形(0.7468249)，复化辛普生(0.7468244)）（3）编写龙贝格算法的

3、程序，并计算上述积分，与（2）比较迭代次数。注：迭代次数是收敛快慢的指标之一！解：（1）对于积分计算方法梯形公式Simpson公式结果0.6839390.747180对于积分计算方法梯形公式Simpson公式结果0.9206430.946046（2）对于积分，区间逐次分半的复化梯形公式计算上述积分的近似值。迭代次数迭代结果迭代次数迭代结果00.6839397250.7467642510.73137025160.7468091620.74298409770.7468203930.74586561480.74682319740.74658459690.74

4、6823898通过计算可以发现，当迭代9次时，迭代误差小于用区间逐次分半的复化Simpson公式计算上述积分的近似值迭代次数迭代结果迭代次数迭代结果00.7471804230.7468242510.7468553740.74682414020.74682612通过计算可以发现，用复化Simpson公式，当迭代4次时，迭代误差小于对于积分，用区间逐次分半的复化梯形公式计算上述积分的近似值。迭代次数迭代结果迭代次数迭代结果00.920643450.9459585610.939695260.9459769420.944414070.9459815330.94

5、5590980.9459826840.945885090.94598297同样的，通过计算可以发现，当迭代9次时，迭代误差小于用区间逐次分半的复化Simpson公式计算上述积分的近似值迭代次数迭代结果迭代次数迭代结果00.9460458420.9459833110.9459869330.94598308通过计算可以发现，用复化Simpson公式，当迭代3次时，迭代误差小于（3）用龙贝格算法求解积分首先得到龙贝格积分表RT=0.683939720585721000.7313702518285630.747180428909510000.742984097

6、8003810.7468553797909870.74683370984975200.7458656148456950.7468261205274670.7468241699098990.746824018482282方法迭代结果误差迭代次数龙贝格积分法0.7468241.514276e-074用龙贝格算法求解积分首先得到龙贝格积分表RT=0.920643418021450000.939695241848720.94604584979115000.944414009436980.945986931966390.9459830041114100.9455

7、90985433080.945983310765110.945983069351700.94598307038726方法迭代结果误差迭代次数龙贝格积分法0.9459831.03556008e-093结果分析：通过以上各种方法计算数值积分，发现梯形公式以及辛普森公式计算简单，但是精度不高，复化梯形公式和复化辛普森就积公式在很大程度上解决了计算精度的问题，但是迭代次数过多，而且复化辛普森公式的迭代次数相对次数相对于梯形求积公式要少。最后采用龙贝格求积法，发现龙贝格求积法既能减少迭代次数，又能达到一定的精度，可广泛运用。4.5（1）为什么多节点的Newton

8、-Cotes求积公式不宜使用？解：因为高阶Newton-Cotes求积公式不具有数值稳定性，因