数值代数期末论文

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2、没有计算就不可能有第一流的研究成果。为众多的科学与工程问题提供计算方法，提高计算的可靠性、有效性和精确性，便是科学与工程计算这一领域的主要研究内容。   数值线性代数又称矩阵计算，它是科学与工程计算的核心。可以毫不夸张地讲，大部分科学与工程问题最终都要归结为一个矩阵计算问题，其中具有挑战性的问题是大规模矩阵计算问题。数值线性代数研究的主要内容就是，如何针对各类科学与工程问题所提出的矩阵计算问题的特点，设计出相应的快速可靠的算法。1.数值线性代数的基本问题数值线性代数主要包括如下三个大问题：（1）求解线性方程组的问题。即给定一个非奇异矩阵和一个向

3、量，求使得（2）线性最小二乘问题。即给定一个矩阵和一个向量，求使得（3）矩阵特征值问题。即给定一个矩阵，求它的部分或全部特征值以及对应的特征向量。除此之外，还有一些其他问题也是十分重要和基本的，如约束最小二乘问题、完全最小二乘问题、矩阵方程的求解、矩阵函数的计算问题、广义特征问题、非线性特征问题、特征值反问题、奇异值分解的计算问题等。特别是奇异值分解的计算，由于其应用十分广泛，目前有的教科书已经将其列为数值线性代数的第四大问题。2.研究数值方法的必要性众所周知，线性线性组、线性最小二乘问题和矩阵特征值问题的数学理论已经相当完善了。但是这些理论上

4、非常漂亮的结果应用于实际计算时往往是行不通的。例如，线性方程组的Gramer法则表明：如果阶线性方程组的系数矩阵A非奇异，则此方程组有唯一的解，并且其解可以通过系数表示为：其中：这里是将A的第i行换为b而得到的矩阵。这一结果把线性方程组的求解问题归结为计算n+1个n阶行列式的问题。而对于行列式的计算，理论上又有著名的Laplace展开定理：其中表示元素的代数余子式。按照这一定理我们就可以从二阶行列式出发逐步递推地计算出任意阶行列式的值。这样，理论上我们就有了一种非常漂亮的求解线性方程组的方法。然而我们做一简单的计算就会发现，由于这一方法的运算量

5、大的惊人，以至于完全不能用于实际计算。设计算k阶行列式所需要的乘法运算的次数为，则容易推出，于是，我们有这样，利用Gramer法则和Laplace展开定理来求解一个n阶线性方程组，所需要的乘法运算的次数要高于因此，若在一个百亿次计算机上求解一个25阶线性方程组，则至少需要再如对矩阵特征征值问题，理论上有著名的Jordan分解定理。这一定理告诉我们，只要知道了一个矩阵的Jordan分解，我们就可很清楚地知道其所有与特征值有关的信息，如一个特征值的几何重数、代数重数以及对应的特征向量等。然而这一分解在实际计算时是难以实现的，这是因为矩阵的Jorda

6、n分解是十分不稳定的（即元素有微小变化时，其Jordan分解往往会发生很大的变化），而且其变换矩阵常常是非常病态的。事实上，真正用于实际计算的而是另一具有良好数值性态的Schur分解。因此，如何利用计算机快速有效地求解矩阵计算的三类基本问题并不是一件容易的事情，而是有许多理论和实际问题值得深入细致地研究的。经过这半个世纪来众多数值代数专家的不断探索和研究，目前有关的方法和理论已经发展的相对较为成熟，得到了一大批十分漂亮的实用算法，俣仍有不少问题有待进一步研究解决，特别是大规模矩阵计算问题仍然是目前科学与工程计算研究的核心问题之一。3.矩阵分解是

7、设计算法的主要技巧对于一个给定的矩阵计算时，我们研究的首要问题就是，如何根据给定问题的特点，设计出求解这一问题的有效的计算方法。设计算法的基本思想就是设法将一个一般的矩阵计算问题转化为一个或几个易于求解的特殊问题，而通常完成这一转化任务的最主要的技巧就是矩阵分解，即将一个给定的矩阵分解为几个特殊类型的矩阵的乘积。例如，求解如下线性方程组，利用三角分解我们有这样，原方程组的解可以通过求解如下的两个三角形方程组，和求得。显然，这两个三角形线性方程组是极容易求解的。这就是著名的Gaussi消去法。4.敏度分析与误差分析由于误差的存在，用计算机做数值计

8、算所得到的结果很少是精确的。通常误差主要有两个来源：一是原始数据本身应有误差，这是由测量或观察的不准确所引起的；二是由计算过程产生的误差。因此，当我们