数列的实际应用题.doc

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1、数列的实际应用题常见题型解题思路：审题---建模---研究模型---返回实际审题：（1）量（多个量）；（2）量间的关系（规律）：等差、等比规律；递推关系；其它规律---由特殊到一般---归纳总结；（3）与通项公式有关或与前n项和有关等例题巩固：1.等差、等比数列类型（通项公式型或前n项和型）例1从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万

2、元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？解.(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－)万元，…第n年投入为800×(1－)n－1万元，所以，n年内的总投入为.an=800+800×(1－)+…+800×(1－)n－1=800×(1－)k－1=4000×［1－()n］第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+)，…，第n年旅游业收入400×(1+)n－1万元.所以，n年内的旅游业总收入为bn=400+400×(1+)+…+400×(1+)k－1=400×()k－1=1600×［()n

3、－1］(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bn－an＞0，即1600×［()n－1］－4000×［1－()n］＞0，令x=()n，代入上式得.5x2－7x+2＞0.解此不等式，得x＜，或x＞1(舍去).即()n＜，由此得n≥5.∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入2.一般数列（有时与等差、等比数列相关）（1）通项公式型（略）（2）前n项和型（略）（3）列举归纳规律类型例2.某地区2000年底有居民住房面积为a,现在居民住房划分为三类、其中危旧住房占1/3,新型住房占1/4,为加快住房建立`计划用10年的时间全部拆除危旧住房(每年拆除的数量相同),自20

4、01年起居民住房只建设新型住房.使得从2001年开始每年年底的新型住房面积都比上一年底增加20%,用an表示第n年底(2001年为第一年)该地区的居民住房总面积(1)分别写出a1,a2,a3的表达式`并归纳出an的计算公式`不必证明.(2)危旧住房全部拆除后`至少再过多少年才能使该地区居民住房总面积番两番?(精确到年lg2=0.30、lg3=0.48、lg43=1.63)解：（1）其它形式住房每年拆危旧住房面积则一般的则（2）当时，令解得（4）递推公式类型例3.（2002年全国高考题）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽

5、车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？解：设每年新增汽车为b万辆，第n年末的汽车保有量为an，则容易得到an和an－1的递推关系：即＝0.94（）∴｛｝是以0.94为公比，以为首项的等比数列。∴＝（）·0.94n－1，即+（）·0.94n－1(1)当≥0即b≤1.8时，an≤an-1≤……≤a1=30(2)当<0即b<1.8时＝［+（）·0.94n－1］＝并且数列｛an｝为递增数列，可以任意接近，因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即an≤60（n=1,2,3……），则≤60，即b≤3.6（万辆）。综上，每年新增

6、汽车不应超过3.6万辆。例4.某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储备金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1＋r）a－1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）a－2，……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.（Ⅰ）写出Tn与Tn－1（n≥2）的递推关系式；（Ⅱ）求证：Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一个等比数

7、列，｛Bn｝是一个等差数列.安徽07高考最后一题：解：（Ⅰ）我们有．（Ⅱ），对反复使用上述关系式，得，①在①式两端同乘，得②②①，得．即．如果记，，则．其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，为公差的等差数列．例5.据报道，我国森林覆盖率逐年提高，现已达国土面积的14%，某林场去年底森林木材储存量为立方米，若树林以每年25%的增长率生长，计划从今年起，每年冬天要砍伐的木材量为立方米，为了实现经过20年木材储存量翻两番的目标，问每年砍伐的木材量的最大值是多少？解：设从今年起的每年年底木