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1、1.1等腰三角形（3） 等腰三角形的判定与反证法北师版八年级下册第一章《三角形的证明》1.探索等腰三角形判定定理．2.理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．3.了解反证法的基本证明思路，并能简单应用。4.培养学生的逆向思维能力。学习目标问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？问题2.我们是如何证明上述定理的？问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等？复习导入我们把等腰三角形的性质定理的
2、条件和结论反过来还成立吗？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等吗？新知探究等腰三角形的判定ABCD12已知：如图，在ΔABC中，∠B=∠C。求证：AB=AC你还有其他证法吗?证明:作∠BAC的平分线AD则∠1=∠2在△BAD和△CAD中∠B=∠C∠1=∠2AD=AD（公共边）∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）∴△BAD≌△CAD（AAS）新知探究等腰三角形的判定例1如图，在∆ABC中，AB=AC，中线BD、CE相交于O，求证：OB=OC.典例精析考点：等腰三角形的判定证明：
3、∵AB=AC，BD、CE为中线,∴AD=AE，∵AB=AC，∠A=∠A∴∆ABD≌∆ACE，∴∠ABD=∠ACE,∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB,∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE，即∠OBC=∠OCB,∴OB=OC.1.如图，在某次海上巡逻中，一艘巡逻舰在A处测得海岛B在北偏东49°方向上，上午8点该巡逻舰从A处出发，以30海里/时的速度向正东航行，上午9点30分到达C处，此时测得海岛B在北偏东8°，求此时巡逻舰与海岛B的距离。对应练习解：∵∠BAC=90°-∠MAB=41°,∠BC
4、N=90°-∠PCB=82°,∵∠B=∠BCN-∠BAC=41°,∴∠B=∠BAC,∴BC=AC=30×1.5=45(海里)答：此时巡逻舰与海岛B的距离为45海里.证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C=∠D=90°,∵∠ABC=∠BAD，AB=BA，∴∆ABC≌∆BAD,∴∠CAB=∠DBA，∴OA=OB，∴∆OAB为等腰三角形.2.如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，BD、AC相交于O，∠ABC=∠BAD.求证：∆OAB为等腰三角形.对应练习证明：∵过点D作DM∥AC交BC于M，∴∠DMB=∠
5、ACB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DMB=∠ABC，∴DB=DM，∵BD=CE，∴DM=CE，∵∠MDF=∠CEF，∠DFM=∠CFE，DM=CE，∴∆DFM≌∆EFC，∴DF=EF.3.如图，在∆ABC中，AB=AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且BD=CE，DE交BC于点F.求证：DF=EF.对应练习3.如图，在∆ABC中，AB=AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且BD=CE，DE交BC于点F.求证：DF=EF.证法二：∵过点E作EN∥AB交BC延长线于N，
6、∴∠B=∠N，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=∠NCE，∴∠N=∠NCE，∴EC=EN，∵BD=CE，∴EN=BD，∵∠B=∠N，∠DFB=∠EFN，BD=EN，∴∆BDF≌∆NEF，∴DF=EF.对应练习小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?新知探究反证法我们来看一位同学的想法：如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等．假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条
7、件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC.你能理解他的推理过程吗?新知探究反证法再例如，我们要证明△ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法，假设有两个角是直角，不妨设∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠B=180°，但∠A+∠B+∠C=180°,“∠A+∠B=180°”与“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾，因此△ABC中不可能有两个直角．思考：上面两道题的证法有什么共同的特点呢?反证法都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知公理或已
8、证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这也是证明命题的一种方法，我们把它叫做反证法．反证法知识归纳1.假设:先假设命题的结论不成立;2.归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果;3.结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.知识归纳反证法的一般步骤例2用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.已知：△ABC．求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角．【分析】按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“∠A,∠B,∠C中
