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1、浅析排列组合中的三类问题•企业管理论文浅析排列组合中的三类问题鈿青任丘市职教中心河北任丘062550摘要：排列、组合问题的背景丰富，情景陌生，题型多彩,变化万千，方法多样，似乎无特定的模式和规律可循,学生学习起来,大多无从下手，难度很大。本文从万千题型中，归纳总结出三类问题，这三类问题，虽远不能涵盖所有的排列组合问题，旦掌握了它,通过〃举一反三”,对于学好排列组合问题将大有裨益。关键词:合并；取法数；模型1涂色问题涂色问题是排列、组合问题中的一类,也是近年来高考的热点，下面就几例高考题浅谈一下这类题型的解法。例1将3种农作物
2、种植在如下图的5块试验田里，每块种植一种农作物且相邻的试验田不能种植同一农作物,不同的种植方法共有多少种。解：第一步，根据题目要求，将5块
3、-'
4、b
5、c
6、d
7、e
8、试验田合并为3块，有如下7种方法：①（A、CL（B、D）、E;②（A、CL（B、E）、D;③（A、D）、（B、E）、C;④（A、D）、（C、E）、B;⑤（A、E）、（B、D）、C;⑥（B、D）、（C、E）、A;⑦（A、C、E）、B、D根据乘法原理•故不同的种植方法种数为：7A；=42°例2如图.•地区分为5个行政区域•现给地图着色.要求相邻区域不得使用同•颜色现有4
9、种顔色供选择•则不同的苕色方法共冇多少种。斛:本题冇二类涂法.第•类:用3种颜色涂。第•步•将5个区域合并为3个区域■只右••种方法：（2、4）、（3、5）、1；第二步.选3种颜色•共冇C：种方法;第三步涂色・3种颜色涂住3个区域•共冇A；种方法；由乘法原理•不同的着色方法种数为:C>A>24第二类:用4种颜色涂。第•步•将5个区域合并为4个区域•只冇2种方注:U“］、3、5・（3、5）、1、2、4；第二步•用4种颜色为“4个区域”涂色•共右A；科亠、•山棗法原理•不同的涂色方法种数为：2A>48综上,涂法总数为：24+48
10、=72。由上例可知，求解涂色问题,先要根据题意，理清完成涂色任务至少需要几种颜色,然后按所需颜色种数进行分类。解每一类”根据题意把所有区域合并,其合并数为所用颜色数，然后进行涂色（排列），得岀这一类的不同涂色种数。最后由加法原理得出涂法总数。2分组问题分组问题是排列组合问题中较为重要的一个问题，它是解决某些分配问题的基础,要求学生必须掌握。例14个不同的小球，放入编号为1、2、3.4的4个盒子里，恰有一个空盒的放法共有多少种解:依题意・4个不同的小球放入3个盒子里，必有一个盒子有2球•其余2个盒子各一球。第一步,4个小球分为
11、3组•共有里0人2种方法•第二步，从4个盒子中取3个•共冇C：种方法;第三步.3组小球放入3个盒子里.共冇A；种放法-因而不同的放法总数为:C：空0A》144种•_例26本不同的书分给4个人•每人至少•本•共冇多少不同的分法.耕：依题意•冇两类分法.-类为：•人2本.•人2木.•人1本・•人丨本；另•类为：•人3本.英余3人各I本。第•类：第•步.将6本书按上述要求分成4组.共冇以讥（；种方扶;第二步.将4组书分给4个人•共冇A：种方法故AA不同的分法种数为：（：feCt（：：（：1.<=1080种A.A.第二类：第-步.将
12、6本书按上述要求分成4组.共有3112空学丄种分法;第二步•将4组书分给4个人•共（I：种分法◎故a33111不同的分法种数为仁叫宀!A：=480种。A,综上，不同的分法总数为：1080+480=1560种。解决分配问题的原则是：先分组后分配（排列），因而，掌握分组的规律至关重要。3相同元素的分配问题——隔板法排列、组合针对的是不同元素的分配问题，因而,有些相同元素的分配问题不能直接利用曲咧、组合求解。它的解法比较特殊,需要我们建立合适的数学模型。下面就几个具体实例说明这类题型的解法。例112个相同的小球放入编号为1、2、
13、3、4的4个盒子里:①每个盒子至少一个小球的不同放法有多少种；②如果允许每盒可空，那么不同的放法有多少种；③如果要求每个盒子中的小球数不小于其编号数，则不同的放法有多少种？解：①将这12个小球排成一排，则其中间产生11个空档;利用3个隔板放入小球之间，可将小球方分成4部分。因而，从11个空档中选岀3个来放隔板,不同的放法，对应不同的分法。故分法种数为：c"=165种。%1因为每盒可空，所以隔板之间允许无球，插入法不再适应。现建立如下数学模型:将3个隔板（把球分成4部分，需3隔板）和12个球排成一排，共需15个位置，从这15个
14、位置中任取3个放隔板（当然，其余位置放小球）,不同的放法，对应不同的分法。（例：一排排列如又所示:000-00000——0000,则1盒放3个，2盒放5个，3盒放0个，4盒放4个）因而，小球不同的放法种数为:比皿5种。%1解法一：用①的处理方法。首先，4个盒子里分别放入0个、1个、2个、3
