排列组合中的分组问题.doc

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1、排列组合中不同元素分组与相同元素的分配问题学习了《排列与组合》之后，不同元素与相同元素的分组问题是一个重点，也是难点。下面就排列组合中的分组问题，谈谈自己在教学中的体会和做法。一、不同元素的分组1．均匀分组例1.6本不同的书分成三份，每份两本，有多少种不同分法？分析：分组与顺序无关，是组合问题。分组数是=90(种)，这90种分组实际上重复了6次。我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组

2、的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数，所以分法是=15(种)。2.不均匀分组例2六本不同的书，分为三组，一组一本，一组二本，一组三本，有多少种分法？分析：先分组，方法是，那么还要不要除以？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有=60(种)分法。3.混合分组例3六本不同的书，分为三组，一组四本，另外两组各一本，有多少种分法？分析：先分组，方法是=30(种)，那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。所以实际分法是=15(种)。通过以上三个例题的分析

3、，我们可以得出不同元素分组问题的一般方法：原理一一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m，m，…，m，其中k组内元素数目相等，那么分组方案是。二、相同元素的分配—隔板法1.非空问题（每盒至少1个）例4.10个相同小球放入6个不同盒子，每盒至少1个，有多少种方法？分析：将10个相同小球排成一列，由于小球没有区别，只有一种排法，如下图所示：○○○○○○○○○○10个球中间形成了9个空（每盒至少1个，所以两端不能放隔板），在9个空中插入5块隔板，即将10个相同小球分成了6份，即可满足要求。答案为.2．有空问题（可以0个）例5.10个相同小球放入6个不同盒子，可以有空盒，有多少种方

4、法？分析：另取6个相同小球，每盒放一个，现共有16个小球，问题转化为16个相同小球放入6个不同盒子中，每盒至少1个，用例4的方法得方法数为.3.某盒至少个例6.12个相同小球，放入编号为1,2,3,4的4个盒子中，每个盒子中小球数不小于其编号数，有多少种放法？分析：先从12个小球中取6个球，在2号盒放1个，3号盒放2个，4号盒放3个，还剩余6个球，问题转化为6个相同小球放入4个盒子中，每盒至少1个，用隔板法得方法数为种.通过以上三个例题的分析，我们可以得出相同元素分配问题的一般方法：第一类非空问题即每盒至少1个，第二类有空问题看作“至少0个，不足1个，故每盒额外添加一个球”，第三类某盒至

5、少个，看作“先从所有小球中取个求放入这个盒子中，这盒还须放至少一个”，这3类问题都以第一类为基础，转化为每盒至少1个，“以1为标准，少则加入球，多则减少球”，掌握这个规律，相同元素的分配问题不难解决了.将不同元素的分组与相同元素分配对比理解记忆，多加练习，方能掌握。参考练习：1．6本不同的书分给甲乙丙三人，每人至少1本，有多少种不同方法？2．6本不同的书分给甲乙丙三人，可以有人没分到，有多少种不同方法？3．6本相同的书分给甲乙丙三人，每人至少1本，有多少种不同方法？4．6本相同的书分给甲乙丙三人，可以有人没分到，有多少种不同方法？5．6本相同的书分给甲乙丙三人，甲至少1本，乙至少3本，丙

6、是否分到均可，有多少种不同分法？