江苏专用2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.6椭圆第2课时直线与椭圆教案含解析20190831127.docx

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1、第2课时 直线与椭圆题型一 直线与椭圆的位置关系例1(2019·徐州模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(3,1)在椭圆上,△PF1F2的面积为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)直线y=x+k与椭圆C相交于A,B两点,若以AB为直径的圆经过坐标原点,求实数k的值.解 (1)由条件可知+=1,=×2c×1=c=2,又a2=b2+c2,所以a2=12,b2=4,所以椭圆的标准方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由得4x2+6kx+3k2-12=0,解得x1,2=,则x1+x2=-,x1x2=,y1y

2、2=(x1+k)(x2+k)=.因为以AB为直径的圆经过坐标原点,则·=x1x2+y1y2=k2-6=0,解得k=±,此时Δ=120>0,满足条件.因此k=±.思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法13(1)研究直线和椭圆的位置关系,一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.(2)对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.跟踪训练1(1)若直线y=kx+1与椭圆+=1总有公共点,则m的取值范围是________.答案 [1,5)∪(5,+∞)解析 方法一 由于直线y=kx+1恒过点(0,1),所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上,则0<≤1且

3、m≠5,故m≥1且m≠5.方法二 由消去y整理得(5k2+m)x2+10kx+5(1-m)=0.由题意知Δ=100k2-20(1-m)(5k2+m)≥0对一切k∈R恒成立,即5mk2+m2-m≥0对一切k∈R恒成立,由于m>0且m≠5,∴m≥1且m≠5.(2)(2018·江苏十校联考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e.直线l:y=ex+a与x轴、y轴分别交于A,B两点,M是直线l与椭圆C的一个公共点,设=e,则该椭圆的离心率e为________.答案 解析 因为点A,B分别是直线l:y=ex+a与x轴、y轴的交点,所以点A,B的坐标分别是,(

4、0,a).由e=化简得,x2+2cx+c2=0,解得M(-c,a-ec),由=e得,=e,即a-ec=ea,即e2+e-1=0,解得e=或e=(舍去).13题型二 弦长及中点弦问题命题点1 弦长问题例2斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则AB的最大值为________.答案 解析 设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+t,由消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0,则x1,2=,∴AB=

5、x1-x2

6、=·,当t=0时,ABmax=.命题点2 中点弦问题例3已知P(1,1)为椭圆+=1内一定点,经过P引一条弦,使此弦被P点平

7、分,则此弦所在的直线方程为________________.答案 x+2y-3=0解析 易知此弦所在直线的斜率存在,所以设斜率为k,弦所在的直线与椭圆相交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,①+=1,②①-②得+=0,∵x1+x2=2,y1+y2=2,∴+y1-y2=0,∴k==-.∴此弦所在的直线方程为y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.13思维升华(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,求出两根,结合已知条件,解决相关问题.涉及中点弦的问题时用“点差法”解决,往往会更简单.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A

8、(x1,y1),B(x2,y2),则AB=

9、x1-x2

10、=

11、y1-y2

12、(k为直线斜率).(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式.跟踪训练2(1)已知椭圆+=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为________.答案 -解析 设弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8,y1+y2=4,两式相减,得+=0,所以=-,所以k==-.经检验,k=-满足题意.(2)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A,B两点,且AB=3,则椭圆C的方程为____

13、____________.答案 +=1解析 设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),则c=1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,且AB=3,所以=,b2=a2-c2,所以a2=4,b2=a2-c2=4-1=3,即椭圆C的方程为+=1.13题型三 椭圆与向量等知识的综合例4已知椭圆C:+=1(a>b>0),e=,其中F是椭圆的右焦点,焦距为2,直线l与椭圆C交于点A,B,线段AB的中点横坐标为,且=λ(其中λ>1).(1)求椭圆C的标准方程;(2)求实数λ

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