（江苏专用）2020版高考数学复习第九章平面解析几何9.6椭圆（第2课时）直线与椭圆教案

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1、第2课时　直线与椭圆题型一　直线与椭圆的位置关系例1(2019·徐州模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(3,1)在椭圆上，△PF1F2的面积为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线y＝x＋k与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，求实数k的值．解　(1)由条件可知＋＝1，＝×2c×1＝c＝2，又a2＝b2＋c2，所以a2＝12，b2＝4，所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得4x2＋6kx＋3k2－12＝0，解得x1,2＝，则x1＋x2＝－，x1x2＝

2、，y1y2＝(x1＋k)(x2＋k)＝.因为以AB为直径的圆经过坐标原点，则·＝x1x2＋y1y2＝k2－6＝0，解得k＝±，此时Δ＝120>0，满足条件．因此k＝±.思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．跟踪训练1(1)若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是________．答案　[1,5)∪(5，＋∞)解析　方法一　由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，

3、则0<≤1且m≠5，故m≥1且m≠5.方法二　由消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.由题意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立，即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，由于m>0且m≠5，∴m≥1且m≠5.(2)(2018·江苏十校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e.直线l：y＝ex＋a与x轴、y轴分别交于A，B两点，M是直线l与椭圆C的一个公共点，设＝e，则该椭圆的离心率e为________．答案　解析　因为点A，B分别是直线l：y＝ex＋a与x轴、y轴的交点，所以点A

4、，B的坐标分别是，(0，a)．由e＝化简得，x2＋2cx＋c2＝0，解得M(－c，a－ec)，由＝e得，＝e，即a－ec＝ea，即e2＋e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去)．题型二　弦长及中点弦问题命题点1　弦长问题例2斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则AB的最大值为________．答案　解析　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，则x1,2＝，∴AB＝

5、x1－x2

6、＝·，当t＝0时，ABmax＝.命题点2　中点弦问题例3已知P(1,1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P

7、引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________________．答案　x＋2y－3＝0解析　易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，①＋＝1，②①－②得＋＝0，∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴＋y1－y2＝0，∴k＝＝－.∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.思维升华(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，求出两根，结合已知条件，解决相关问题．涉及中点弦的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．(2

8、)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝

9、x1－x2

10、＝

11、y1－y2

12、(k为直线斜率)．(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．跟踪训练2(1)已知椭圆＋＝1以及椭圆内一点P(4，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为________．答案　－解析　设弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，两式相减，得＋＝0，所以＝－，所以k＝＝－.经检验，k＝－满足题意．(2)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，

13、且AB＝3，则椭圆C的方程为________________．答案　＋＝1解析　设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，且AB＝3，所以＝，b2＝a2－c2，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，即椭圆C的方程为＋＝1.题型三　椭圆与向量等知识的综合例4已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，e＝，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A，B，线段AB的中点横坐标为，且＝λ(其中λ>1)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)求实数λ的值．解　(1)