二一般形式的柯西不等式.pptx

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1、3.2一般形式的柯西不等式武汉中学王瑜01/情景引入02/一般形式的柯西不等式03/一般形式的柯西不等式的应用04/课堂小结目录CONTENTS情景引入1PARTONE情景引入当时，,两边平方可得，当且仅当时等号成立.情景引入0xy观察图，从平面向量的几何背景可以得到，将平面向量的坐标代入，化简得二维形式的柯西不等式，当且仅当时，等号成立.情景引入0xzy类似地，从空间向量的几何背景可以得到，将空间向量的坐标代入，化简得三维形式的柯西不等式，当且仅当共线时，即=0,或存在一个数,使得时，等号成立.情景引入猜想：n维向量的坐标？一般形式的柯西不等式？,当且仅当或存在实数k,使=k时，等号成立.

2、n维向量的坐标：,，柯西不等式的一般形式如何证明一般形式的柯西不等式的代数形式?一般形式的柯西不等式：当且仅当或存在实数k,使=k(i=1,2,)时，等号成立.一般形式的柯西不等式2PARTTWO联想：设,,则有可联想到一些什么？联想：二次函数y=Ax2+2Bx+C(A≠0)的判别式4B2–4AC证明：②当a1、a2an中至少有一个不为零，则二次函数f(x)=()x2+2()x+().①当a1=a2==an=0时，显然成立.∵∀x∈R,f(x)=()2≥0∴二次函数f(x)的判别式⊿≤0，即：4≤0证明∴≥当且仅当f(x)有唯一零点时，⊿=0，以上不等式取等号.此时，有唯一实数x使x+=0（

3、i=1，2，n）.①若x=0，则b1=b2==bn=0，≥等号成立；②若x≠0，则有≥等号成立；总之，当且仅当时，等号成立.证明定理理解柯西不等式反映的是任意两组实数，其对应项“相乘”之后“求和”再“平方”这三种运算不满足交换律，即一组序列的个实数的平方和与另一组序列的个实数的平方和之积不小于两组序列的个数的顺序积的和的平方或者是两组序列的个数的乱序积的和的平方.一般形式的柯西不等式的应用3PARTTHTEE≥应用或(,)应用例1已知，求的最小值.[精彩点拨]由于以及的形式，联系柯西不等式可以通过构造作为一个因式解决问题.应用[自主解答]根据柯西不等式，有所以，当且仅当,即时，取最小值.1.

4、利用柯西不等式时，需要适当改变原式的结构.归纳小结应用例2设为互不相等的正数，求证：+.[自主解答]由于(+)]因为为互不相等的正数，故等式不成立，所以+.练一练1.设,且，求证：.[自主解答]因为,且，故.所以.归纳小结2.利用柯西不等式时，需要适当拆分原式中的常数.应用例3求函数的最值.[精彩点拨]由于不是常数，故需要将的系数进行适当配凑以保证出现常数结果.[自主解答]=当且仅当,即时，函数有最大值.练一练2.求函数的最值.[自主解答]=当且仅当,即时，函数有最大值.归纳小结3.利用柯西不等式时，需要适当配凑系数以保证出现常数结果.应用例4求实数的值使得+取到最小值.[自主解答]假设存在

5、一个数组的值与无关即与无关,令,即,取则,则+应用4.利用柯西不等式时，需要适当配凑数组以保证出现常数结果.归纳小结[自主解答]即+.当且仅当,即时取等号，即最小值为课堂小结4PARTFOUR小结1.利用柯西不等式时，需要适当改变原式的结构.2.利用柯西不等式时，需要适当拆分原式中的常数.3.利用柯西不等式时，需要适当配凑系数以保证出现常数结果.4.利用柯西不等式时，需要适当配凑数组以保证出现常数结果.谢谢!