高考数学：解析几何应用题.doc

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1、专题9.5：解析几何应用题【拓展探究】1.某人欲设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”其中是过抛物线焦点且互相垂直的两条弦，该抛物线的对称轴为，通径长为4．记，为锐角．（通径：经过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦）（1）用表示的长；（2）试建立“蝴蝶形图案”的面积关于的函数关系式，并设计的大小，使“蝴蝶形图案”的面积最小．【解】（1）由抛物线的定义知，，解得，．（2）据（1）同理可得，，．所以“蝴蝶形图案”的面积，即，．令，则，所以当，即时，的最小值为8．答：当时，可使“蝴蝶形图案”的面积最小．2.如图，某隧道

2、设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为）【解】（1）如图建立直角坐标系，则点，椭圆方程为.将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得此时.因此隧道的拱宽约为33.3米.（2）由椭圆方程，得因为即且所以当取最小值时，有得此时故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量

3、最小.3.如图所示，有两条道路与，，现要铺设三条下水管道，，（其中，分别在，上），若下水管道的总长度为，设，．（1）求关于的函数表达式，并指出的取值范围；（2）已知点处有一个污水总管的接口，点到的距离为，到点的距离为，问下水管道能否经过污水总管的接口点？若能，求出的值，若不能，请说明理由．5.如图,为了保护河上古桥,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量，点A位于点

4、O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),.（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时,圆形保护区的面积最大？【解法探究】（1）解法1：（两角差的正切）连结，由题意知，则由两角差的正切公式可得：，故答：新桥的长度为m.解法2：（解析法）由题意可知；由可知直线的斜率，则直线所在直线的方程为；又由可知，所在的直线方程为；联立方程组，解得；即点，那么.答：新桥的长度为m.解法3：（初中解法）延长交所在直线于点，由可得，，，，故，在中，由勾股定理得，故答：新桥的长度为m.（2）解法1：（解析法）由题

5、意设，圆的方程为，且由题意可知.又古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，那么，解得；由函数为区间上的减函数，故当时，半径取到最大值为.综上可知，当时，圆形保护区的面积最大，且最大值为.解法2：（初中解法）设与圆切于点，连接，过点作交于点.设，则，由古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，那么，解得.由，可得，由（1）解法3可得，所以，故即圆的半径的最大值为130，当且仅当时取得半径的最大值.综上可知，当时，圆形保护区的面积最大.6.如图，O为总信号源点，A，B，C是三个居民区，已知A，B

6、都在O的正东方向上，OA=10，OB=20，C在O的北偏西45°方向上，CO=．（1）求居民区A与C的距离；（2）现要经过点O铺设一条总光缆直线EF（E在直线OA的上方），并从A，B，C分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF．假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m（m为常数）．设∠AOE=θ（0≤θ<），铺设三条分光缆的总费用为w（元）．①求w关于θ的函数表达式；②求w的最小值及此时的值．【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？