例说三角函数的最值求法.doc

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1、例说三角函数的最值求法王淑英“三角函数的最值”问题是历年来高考和竞赛的热点之一，因此我们必须掌握解决这类问题的基本思想和方法.一、利用三角函数的有界性求最值利用正弦函数、余弦正数的有界性：∣sinx∣≤,∣cosx∣,可求形如y=Asin(ωx+φ),y=Acos(Asin(ωx+φ)(A≠0,φ≠0)的函数最值.例子已知函数y=cos2x+sinxcosx+1,x∈R,当函数y取得最大值时，求自变量x的集合.解散y=(2cos2x-1)++(2sinxcosx)+1=cos2x+sin2x+=sin(2x+)+y得最大值必须且只需2x+=+2kπ，k∈Z.即

2、x=+kπ,k∈Z.所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为{x

3、x=+kπ,k∈Z.}二、转化为二次函数求最值例2求函数y=f(x)=cos22x-3cos2x+1的最值.解∵f(x)=(cos2x-)2-,∴当cos2x=1,即x=kπ,(k∈Z)时，y=min=-1,当cos2x=-1,即x=kπ+,(k∈Z)时，y=max=5.这里将函数f(x)看成关于cos2x的二次函数，就把问题转化成二次函数在闭区间[-1，1]上的最值值问题了.三、利用均值不等式求最值例3已知0〈θ<π，则sin(1+cosθ)的最大值是.解y=sin·2cos2,∵0<θ<π

4、,∴0<<,∴sin>0,cos>0,∴y=2=2≤2当且仅当2sin2=cos2,即tan2=,θ=2arctan时，等号成立.一、换元法、例2若0

5、PA时，斜率最小.kPA=-,即-≤≤0,∴≥-,∴≥,故选（B）.二、放缩法例6设x≥y≥z≥,求乘积cosxsinycosz的最值.解由已知条件知x=<-(y+z)≤-2·<=<,sin(x-y)≥0,sin(y-z)≥0,于是cosxsinycosz=cosx[sin(y+z)+sin(y-z)]≥cosx·sin(y+z)=cos2x≥cos2+=,且当x=,y=z=+时等号成立，故cosxsinycosz的最小值为.又cosxsinycosz=cosz[sin(x+y)-sin(x-y)]≤cosz·sin(x+y)=cos2z≤·cos=(1+co

6、s+)=,且当x=y=π,z=+时等号成立，故cosxsinycosz的最大值为原载于《》