例谈解析几何问题的不等式解法.doc

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1、例谈解析几何问题的不等式解法——柯西不等式的又一应用——陈庆华DFByxAOE【引例】（高考原题）设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．求四边形面积的最大值．［解答1］:依题设得椭圆的方程为直线的方程分别为，．如图，设，其中，且满足方程，故．①根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，又，所以四边形的面积为.当，即当时，上式取等号．所以的最大值为．［解答2］：由题设，，．设，，由①得，，故四边形的面积为由柯西不等式知当且时，即上式取等号．所以的最大值为．对比上述解法知,运用柯西不等式对求解析几何的最值问题有其特

2、殊的功效.柯西不等式是高中数学新课程4—5的选修内容，是最著名的不等式之一.学习这一内容可以让学生领略经典不等式的几何意义及其应用，同时近几年高考各省份加大了对“柯西不等式”的考查，成了高考中的“常客”.柯西不等式结构独特,应用广泛,在解决相关数学问题，如求函数最值、不等式证明、解三角形等方面有着自身独特的优势,尤其是涉及到具有约束条件的多元函数的最值问题.柯西不等式处于不可替代的地位.然而，它在解析几何中的作用并未得到充分的发挥，本文从几个方面谈谈自己的看法，供大家参考.1.柯西不等式的内容设n为大于１的自然数，ai,bi(i=1,2,3,…,n)为任意实数，则

3、，其中等号当且仅当时成立（当ai=0，约定bi=0,i=1,2,3,…,n）．2.点到直线的距离公式的推导已知点和直线，求点到直线的距离.分析:点到直线距离即为点与直线上任意一点所连线段中最短的线段.［解答］:设为直线上的任意一点，点到直线距离为，则由柯西不等式知当且仅当时等号成立。3.在线性规划方面的运用【例1】已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.求y-x的最大值和最小值.分析：形如t=ax+by的最值问题，可以转化为动直线截距的最值问题.［解答1］.设y-x=b，即y=x+b，当y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，即.故y-x的

4、最大值为，最小值为.上述解法非常自然，然而，如果借助柯西不等式，也可以顺利地得出结论，它的最大优势是避开了繁琐的画图：［解答2］.因为x2+y2-4x+1=0.所以，构造柯西不等式[]故y-x的最大值为，最小值为.【例2】函数的图象恒过定点A，若点A在直线=0上，其中，则的最大值是__________分析：从条件得到关系式，从而利用柯西不等式解决问题.运用柯西不等式的核心问题是找出相应的两组数,当这两组数不能直接得出结论时,需要分析、增补（特别是对数字1的增补，例如a=a·1）或变形等．［解答］.函数的图象恒过定点为A(-2,-1),因为点A在直线上,所以,即`=

5、等号成立的条件是：即.由柯西不等式知:所以当且仅当时等号成立.所以的最大值为.练习：函数的图象恒过定点A，若点A在直线=0上，其中，则的最小值是_________.答案:8.4.求圆锥曲线极值研究直线与圆锥曲线问题时，常用的方法是代入消元，化成一元二次方程，然后利用根的判别式和韦达定理来求解，但是由于这类问题通常伴随着待定字母或参数，因此解题过程冗长，运算繁琐.利用柯西不等式可以有效地简化以上过程.【例3】求椭圆的切线夹在两坐标间线段的最小值.分析：此题用常规解法会让人无从下手，尝试用柯西不等式.［解答］设是椭圆上一点，则以此点为切点的切线的方程为，则与两坐标轴交

6、点分别为所以（）.当且仅当5.求参数范围【例4】求使直线和椭圆有公共点的取值范围.分析：就是方程和方程有公共解。［解答］由柯西不等式即又因为.练习:（高考原题）若直线通过点，则（）A．B．C．D．提示:命题者的初衷是想考查直线和圆的位置关系，但是，许多同学一时很难发现点就是单位圆上的动点，从而很难想到利用直线和圆的位置关系来处理，但是如果灵活地运用柯西不等式来进行处理，可以很完美地避开了解析几何的知识，轻车熟路的几步代数推理就能使问题迎刃而解了.答案为D