例谈方程整数解问题的解法.pdf

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1、·10·中学教研(数学)2011年例谈方程整数解问题的解法●易永彪(新星学校浙江苍南325800)2在各类数学竞赛和高中自主招生考试中，二次2(2m－3)x+4m－14m+8=0有2个相异整数方程整数解问题备受关注．它将古老的整数理论与根，求m的值及方程的根．传统的初中数学知识相结合，涉及知识面宽、范围解由题意知22广，往往需要灵活地运用相关概念、性质、方法和技Δ=4(2m－3)－4(4m－14m+8)=4(2m+1)．巧，综合性强，对学生的能力有较高的要求．本文将对4＜m＜40的整数m，要使Δ=4(2m+1)为完全对方程整数解问题

2、的解法与基本策略作一探索，旨平方数的m只能取为12和24，而在抛砖引玉．2(2m－3)±槡4(2m+1)x==1巧用因式分解242n2n例1方程－m+4m+2m+2+5=0的正(2m－3)±槡2m+1．整数解有()因此当m=12时，x1=16，x2=26;当m=24时，A．1组B．2组C．4组D．无穷多组x1=38，x2=52．(2009年浙江省温州中学自主招生考试试题)2例4已知p为质数，使二次方程x－2px+解原方程可化为2p－5p－1=0的2个根都是整数，求出p的所有可4n2nm－(2+4)m－(2+5)=0，能值．2n2可得

3、［m－(2+5)］(m+1)=0．解由已知整系数二次方程有整数根，得2因为m+1＞0，222nΔ=4p－4(p－5p－1)=4(5p+1)所以m=2+5．(1)为完全平方数，从而5p+1为完全平方数．因此可因此m为奇数，不妨设m=2k+1(k为自然数)，代2设5p+1=k．注意到p≥2，因此k≥4，且k为整入式(1)得2n－2数，于是k+k－1=2．22(k+1)(k－5)因为k与k的奇偶性相同，所以k+k－1是奇数，p=．5n－2不能被偶数整除，因此2只能为1，从而那么k+1与k－1中至少有一个是5的倍数，即n=2，m=3，k=5

4、a±1(a为正整数)，因此原方程只有1组正整数解．故选A．225p+1=(5a±1)=25a±10a+1，2222例2已知方程ax－(3a－8a)x+2a－解得p=a(5a±2)．13a+15=0(a≠0)至少有一个整数根，求整数a由p为质数，5a±2＞1，可知a=1，因此的值．p=3或p=7．解已知方程经整理得2当p=3时，原方程变成x－6x－7=0，解得［ax－(a－5)］［ax－(2a－3)］=0，x1=－1，x2=7;a－552a－33解得x1==1－，x2==2－．当p=7时，原方程变成x2－14x+13=0，解得aaaa

5、由题意知a为整数，因此a的取值为x1=1，x2=13．1，3，5，－1，－3，－5．故p=3或p=7．评注分析方程的形式特征，可采用因式分评注因为整系数二次方程有整数根，所以Δ解、求根公式等方法求得方程的根，再结合整除性必为完全平方数．当问题比较复杂时，可通过恰当质、奇偶性等进行求解．设元、引入参数，利用因式分解、数论等方法求解．2巧用判别式3巧用韦达定理22例3设m为整数，且4＜m＜40，方程x－例5求使关于x的方程kx+(k+1)x+k－第6期易永彪:例谈方程整数解问题的解法·11·21=0的根都是整数的k值．ax+2(a－3)

6、x+(a－13)=0，2解当k=0时，x=1符合题意．化简得(x+1)a=6x+13，2当k≠0时，设方程kx+(k+1)x+k－1=06x+13因此a=2≥1，的2个根为x1，x2(x1≤x2)，因此(x+1)2k+11即x－4x－12≤0，x1+x2=－=－1－，(2)kk解得－2≤x≤6．k－11因为x为整数，x≠－1，所以x的值可取为x1x2==1－．(3)kk－2，0，1，2，3，4，5，6．由式(2)－式(3)得把x分别代入求得a的值，且a为非负整数，可得x1+x2－x1x2=－2，a的值为1，13．于是(x1－1)(x

7、2－1)=3，例8已知x1=2;x1=－2;x2y2z2u2解得ì+++=1;{x=4，或{x=0，ï22－1222－3222－5222－7222ï22221xyzu从而k1=－，k2=1．ï22+22+22+22=1;7ï4－14－34－54－7综上所述，满足题意的k值为íx2y2z2u2ï+++=1;222222221ï6－16－36－56－7k1=0，k2=－，k3=1．7ï2222xyzu2ï+++=1，例6已知关于x的一元二次方程x+cx+î82－1282－3282－5282－72a=0的2个整数根恰好比方程x2+ax－b

8、=0的22222试求x+y+z+u的值．个根都大1，求a+b+c的值．解本题为四元二次方程，直接求解相当困(2011年全国初中数学竞赛试题)难，但各个方程结构完全相同，因此可考虑更换主2解设方程x+ax+b=0的2个根为α，β，其元．