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1、一次不定方程（组）及方程的整数解问题【写在前面】不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现.对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决.【本讲重点】求一次不定方程（组）的整数解【知识梳理】不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定.重要定理：设a、b、c、
2、d为整数，则不定方程axbyc有：定理1若(a,b)d,且d不能整除c，则不定方程axbyc没有整数解；定理2若(x,y)是不定方程axbyc且的一组整数解（称为特解），则xx0bt,（t为整数）是方00yy0at程的全部整数解（称为通解）.（其中(a,b)d,且d能整除c）.定理3若(x0,y0)是不定方程axby1，(a,b)1的特解，则(cx0,cy0)是方程axbyc的一个特解.（其中(a,b)d,且d能整除c）.求整系数不定方程axbyc的正整数解，通常有以下步骤：（1）判断有无整数解；（2）求出一个特解；（3）写出通
3、解；（4）有整数t同时要满足的条件（不等式组），代入命题（2）中的表达式，写出不定方程的正整数解.解不定方程（组），需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法：（1）分离整系数法；（2）穷举法；（3）因式分解法；（4）配方法；（5）整数的整除性；（6）奇偶分析；（7）不等式分析；（8）乘法公式..【学法指导】【例1】求下列不定方程的整数解（1）2x6y8；（2）5x10y13.【分析】根据定理1、定理2确定方程的整数解.x1,【解答】（1）原方程变形为：x3y4，观察得到是x3y4的一组整数解（特解），y1x13t,根据
4、定理2，(t是整数)是原方程的所有整数解.y1t（2）∵（5，10）=5，但5不能整除13，∴根据定理1，原方程的无整数解.【点评】先判断方程是否有整数解，多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解.求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的.【实践】求下列不定方程的整数解（1）7x14y211；（2）5x14y11.x514t,答案：（1）无整数解；（2）(t是整数)y15t【例2】求方程7x19y213的所有正整数解.【分析】此方程的系数较大，不易用观察法得出特解.根据方程用y来表示x,再将
5、含y的代数式分离出整系数部分，然后对分数系数部分进行讨论，赋予y不同的整数，寻找一个使分数系数部分成为正整数的y0，然后再求x0，写出通解，再解不等式组确定方程的正整数解.【解答】∵（7，19）=1，根据定理2，原方程有整数解.21319y21014y35y35y由原方程可得x302y，777由此可观察出一组特解为x0=25，y0=2.x2519t,∴方程的通解为(t是整数).y27t252519t0,t,252其中∴19∴t∴t1,027t02197t7x6,x25,代入通解可得原方程的正整数解为或y9.y2.【点评】根据定理
6、2解这类方程，若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示另一个未知数，再利用整数的知识，这是解二元一次不定方程基本的方法，称为分离整系数法.这样就容易.找出一组整数解来.【实践】求方程3147y265的正整数解.答案：x=4,y=3.【例3】大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，现有378人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.【分析】本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可.【解答】设需要大客车x辆，小客车y辆，根据题意可列方程54x36y378，即3x2
7、y21.x1,x12t,又（3，2）=1，根据定理2，原方程有整数解.易知是一个特解，通解为(t是整数)y9y99t12t0,x1,x3,x5,x7,由题意可知解得t0,1,2,3.相应地99t0y9.y6.y3.y0.答：需要大客1车辆，小客车9辆；或需要大客车3辆，小客车6辆；或需要大客车5辆，小客车3辆；也可以只要大客车7辆，不要小客车.【点评】一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解.【实践】某次考试共需做20道小题，对1道得8分，错一道扣5分，不做不得分.某生共得13分，他没做的题目有几道？答案：7【例4】某人的生
8、日月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347，求此人的生日.【分析】本题的隐含条件是：月份的取值[1，12]，日期的取值[1，31].【解答】设此人生日的月份数为x,日期数y.根据题意可列方程31x+12y=347.〈方法一〉〈方法二〉x5x512t特
