例谈“不定方程整数解个数”模型应用

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1、例谈“不定方程整数解个数”模型应用浙江省绍兴县柯桥中学(312030)陈冬良在排列组合中，我们利用挡板法可以得到方程x1+x2+x3+…+xk=n(n为正整数)的正整数解个数为;这一知识点在各类联赛或各省市的预赛中正频繁的出现，的确此模型的应用较广泛、灵活，特别是从一般试题中挖掘出此类命题的“庐山真面目”需有较强的功底。下面选取几例典型的试题供参考。一．模型的直接应用例1.（2010全国联赛）方程x+y+z=2010满足x£y£z的正整数解（x,y,z）的个数是_______.解：首先易知x+y+z=2010的正整数解的个数为把x+y+z=2010满足

2、x£y£z的正整数解分为三类：（1）x,y,z均相等的正整数解的个数显然为1；（2）x,y,z中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003；(3)设x,y,z两两均不相等的正整数解为k.易知1+3×1003+6k=2009×1004，6k=2009×1004-3×1003-1解得k=335671.从而满足x£y£z的正整数解的个数为1+1003+335671=336675例2.(04全国联赛)一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关。问：（Ⅰ）某人在这项游戏中最多能过几关？（Ⅱ）他连过前三关的概

3、率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。）解：由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。（Ⅰ）因骰子出现的点数最大为6，而，因此，当时，n次出现的点数之和大于已不可能。即这是一个不可能事件，过关的概率为0。所以最多只能连过4关。（Ⅱ）设事件为“第n关过关失败”，则对立事件为“第n关过关成功”。第n关游戏中，基本事件总数为个。第1关：事件所含基本事件数为2（即出现点数为1和2这两种情况），过此关的概率为：。第2关：事件所含基本事件数为方程当a分别取2

4、，3，4时的正整数解组数之和。即有（个）。过此关的概率为：。第3关：事件所含基本事件为方程当a分别取3，4，5，6，7，8时的正整数解组数之和。即有（个）。过此关的概率为：。故连过前三关的概率为：。二.模型的等价转化若研究方程x1+x2+x3+…+xk=n(且x1≥1,x2≥2,…,xk≥k,)的正整数解的问题？换元法：令,则转化为y1+y2+y3+…+yk=n-(1+2+3+…+k-1),又转为求正整数解的个数问题.若研究方程x1+x2+x3+…+xk=n(n为正整数)非负整数解个数问题，可令,则转化为y1+y2+y3+…+yk=n+k的正整数解的个

5、数问题为(或).例3.(05全国联赛)若自然数a的各位数字之和为7，则称a是“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列：a1、a2、a3…，若an=2005，则a5n=______。解：方程x1+x2+x3+…+xk=m的非负整数解的个数为,而使的整数解个数为,现取m=7，可知k位“吉祥数”的个数为P(k)=.2005是形如的数中最小的一个“吉祥数”，且P（1）=，P（2）=，P（3）=，对于四位“吉祥数”，其个数为满足a+b+c=6的非负整数解的个数，即,2005是第1+7+28+28+1=65个“吉祥数”，即a65=2005,5n=325.又P（

6、4）=，P（5）=，而,从大到小最后六个五位“吉祥数”是：70000，61000，60100，60010，60001，52000.第325个“吉祥数”是52000,即a5n=52000.例4.(05浙江省预赛)在一次实战军事演习中，红方的一条直线防线上设有20个岗位。为了试验5种不同新式武器，打算安排5个岗位配备这些新式武器，要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器，且每相邻5个岗位至少有一个岗位配备新式武器，相邻两个岗位不同时配备新式武器，问共有多少种配备新式武器的方案？解：设20个岗位按先后排序为1，2，，…，20，且设第k种新式武器设置的序号为。令

7、，，，，，，则有其中，。作代换，，从而有其中。设I为的正整数解的全体，为I中满足的解的全体。则上式成立的原因是，因为没有同时满足，，的的正整数组。所以.因为5种新式武器各不相同，互换位置得到不同的排列数，所以配备新式武器的方案数等于。三．活用挡扳法有时研究问题可能要考虑需要几块挡扳，我们可以把其转化为两个原理（加法原理与乘法原理）解决。例5.小明有10颗糖（不可辨），每天至少吃一颗，直至吃完，那么有多少种吃法？解：问题正面分类，考虑分几天吃，问题转化为10个方程的正整数解的个数问题，答案为.转化考虑方式，即10颗糖排成一列，每两颗之间加一挡扳，则分为两

8、天，不加挡扳即在一天吃完。因此问题转化为九个间隔位置上是否加挡扳。即吃法有N=29。