例谈高考数学恒成立问题的一般解法

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1、例谈高考数学恒成立问题的一般解法例谈高考数学恒成立问题的一般解法高考数学复习中的恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。　　一、一次函数型　　给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在［m,n］内

2、恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于　　ⅰ）a>0　　f(m)>0或ⅱ）a<0　　f(n)>0亦可合并定成f(m)>0　　f(n)>0.L.　　同理，若在［m,n］内恒有f(x)<0，则有f(m)<0　　f(n)<0　　例1、对于满足

3、p

4、2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。　　分析：在不等式中出现了两个字母：x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转

5、化为在［-2，2］内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。　　略解：不等式即(x-1)p+x2-2x+1>0,设f(p)=(x-1)p+x2-2x+1,则f(p)在［-2,2］上恒大于0，故有：　　f(-1)>0　　f(2)即x2-4x+2>0　　x2-1>0解得：x>3或x<1　　x>1或x<-1　　∴x<-1或x>3。　　二、二次函数型　　若二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立，则有a>0　　Δ<0若是二次函

6、数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。　　例2、设f(x)=x2-2ax+2,当x［-1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。　　分析：题目中要证明f(x)a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间［-1,+)时恒大于0的问题。　　解：设F(x)=f(x)-a=x2-2ax+2-a。　　ⅰ)当Δ=4（a-1)(a+2)<0时，即-2ⅱ）当Δ=4（a-1)(a+2)0时可得以下充要条件：　　Δ≥0　　f(-1)≥

7、0　　--2a2≤-1,即(a-1)(a+2)≥0　　a+3≥0　　a≤-1,　　得-3≤a≤-2;　　综合可得a的取值范围为［-3，1］。　　三、变量分离型　　若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。　　例4、已知当x∈R时，不等式a+cos2x<5-4sinx+5a-4恒成立，求实数a的取值范围。　　分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中

8、x的范围已知（x∈R），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。　　解：原不等式即：4sinx+cos2x<5a-4-a+5　　要使上式恒成立，只需5a-4-a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。　　f(x)=4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+3≤3,　　∴5a-4-a+5>3即5a-4>a+2　　上式等价于a-2≥0　　5a-4≥0　　5a-4>

9、(a-2)2或a-2<0　　5a-4≥0　　解得45≤a<8。　　注：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。　　另解：a+cos2x<5-4sinx+5a-4即　　a+1-2sin2x<5-4sinx+5a-4,令sinx=t,则t∈［-1,1］,　　整理得2t2-4t+4-a+5a-4>0,(t∈［-1,1］)恒成立。　　设f(t)=2t2-4t+4-a+5a-4则二次

10、函数的对称轴为t=1,　　f(x)在［-1，1］内单调递减。　　只需f(1)>0,即5a-4>a-2。(下同)　　四、直接根据图象判断　　若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判