高中数学恒成立问题的一般解法

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1、高中数学恒成立问题的一般解法高三数学复习中，我们经常会遇到恒成立问题，恒成立问题主要涉及到一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的性质、图象，渗透着换元、转化与化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的分析问题、解决问题的能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在分析题目过程中，特别要注意与能成立问题的区别，以防导致解题错误。常见恒成立问题大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函

2、数的图象。当然，这几种类型在方法的运用上面都有异曲同工之处，一般主要用变量分离，数形结合，函数最值，根的分布的思想方法进行处理即可解决问题。一、一次函数型（注意改换主元的方法运用）例1、对于满足

3、p

4、2的所有实数p,求使不等式x2+p·x+1>2p+x恒成立的x的取值范围。分析：在不等式中出现了两个字母：x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数，即改换主元。可将p视作自变量，则上述问题可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。略解：不等式即(x-1)p+x2-2x+1>0,设f(p)=(x-1)p+x2-2x+1

5、,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有：即解得：∴x<-1或x>3.评析：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）及它的单调性可得ⅰ）或ⅱ）亦可合并定成同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有nmoxynmoxy第6页共6页一、二次函数型（函数与方程的思想，根的分布）例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x[-1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。分析：题目中要证明f(x)a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1,+)时恒大

6、于0的问题。解：设F(x)=f(x)-a=x2-2ax+2-a.ⅰ)当=4（a-1)(a+2)<0时，即-20.则原方程有解即方程t2+(4+a

7、)t+4=0有正根。即解得a-8.解法2（利用根的分布知识）：即要求t2+(4+a)t=0有正根。设f(x)=t2+(4+a)t+4.10.=0,即（4+a）2-16=0,∴a=0或a=-8.a=0时，f(x)=(t+2)2=0,得t=-2<0，不合题意；a=-8时，f(x)=(t-2)2=0,得t=2>0,符合题意。∴a=-8.4oxy20.>0,即a<-8或a>0时，∵f(0)=4>0,故只需对称轴，即a<-4.∴a<-8综合可得a-8.第6页共6页解法3（分离变量）即求出，转化为函数值域问题求解。利用函数单调性或重要不等式求的最值。评析：若二

8、次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的定义为R大于0恒成立，则有；若是二次函数对应方程有两正根、两负根、一正根一负根一般只需考虑根的判别式与韦达定理即可；若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以用根的分布知识求解。当然，一般情况下主要从五个方面进行考虑：（1）二次项系数的符号，（2）根的判别式，（3）韦达定理即根与系数的关系，（4）对称轴与区间的关系，（5）区间端点所对应的函数值的符号。一、变量分离型（函数最值）例1、已知当xR时，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立，求实数a的取值范围。分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知

9、（xR），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。解：原不等式即：4sinx+cos2x<-a+5要使上式恒成立，只需-a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。f(x)=4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+33,∴-a+5>3即a<2注：若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。另解：a+cos2x<5-4sinx即a+1-2sin2x<5-4sinx,令sinx=t,则t[-1,1],整理得2t2-4t+4-a

10、>0,(t[-1,1])恒成立。设f(t)=2t2-4t+4-a则二次函数的对称轴为t=1,f(x)在[-1，1]内单调递