伊藤清概率论第一章.pdf

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1、第1章概率论的基本概念x1概率空间的定义概率空间是用数学观点阐述与研究随机现象的出发点．在定义概率空间之前，我们先回顾一些测度论中的有关概念．抽象空间集合的别称．如全体实数的集合构成一个抽象空间，又如赋予欧氏(Euclid)距离的n维向量空间也是抽象空间，本书中将它们分别用R和Rn表示．完全加法族如果一个抽象空间的子集类满足下列三个条件，则称它为该抽象空间的完全加法族(也称为¾代数).1±抽象空间本身是其中的一个元.假设此空间为•，此子集类为F，则•2F:2±属于F的可数无限个集合的并也属于F，即S1E1;E2;E3;¢¢¢2F=)Ek2F:k=13±属于F的集合的余集也属于F，即若E2F，则

2、2第1章概率论的基本概念•¡E2F．利用这三个条件，我们可以推出下列结论.4±空集(今后用?表示)也属于F．事实上，在3±中取E=•即可.T15±如果E;E;E;¢¢¢2F,则E2F.123kk=1T1S1由恒等式E=•¡(•¡E)以及2±和3±可得kkk=1k=1这个结论.6±如果E;E2F,则E[E;EE;E¡E2F．这12121212是由于E1[E2=E1[E2[?[?[?[¢¢¢;E1E2=E1E2•••¢¢¢;E1¡E2=E1(•¡E2):一个抽象空间•的完全加法族不是唯一的.其中f•;?g是最小的一个，•的所有子集的全体是最大的完全加法族.如果•有多个完全加法族，那

3、么它们的交仍然是•的完全加法族.对于•的一个子集族，包含这个子集族的•的最小完全加法族存在并且唯一，称其为由这个子集族生成的完全加法族．例如，由R的全体区间构成的族所生成的完全加法族为Borel集合族．再如，端点为有理数的全体区间构成的族也生成同一个Borel集合族．R上的完全加法族有很多种，但是Borel集合族是最有用的一个．将空间•与其子集构成的一个完全加法族F结合来考虑时，所产生的序偶(•;F)称为可测空间.然而，当•=R时，通x1概率空间的定义3常取F为R的Borel集合族B，并且在多数场合下将(R;B)简单地写成R.对于空间Rn，同样将n维可测空间(Rn;Bn)也简单地写成Rn.此外

4、，当•为可分距离空间D时，由D与D的邻域族生成的完全加法族构成的可测空间，也简单地记成D.测度假设F为抽象空间•的一个完全加法族，m为•上的集函数并且满足：1±m的定义域为F;2±对于所有的E2F，m(E)>0;3±m是完全可加的，即对任意两两不相交的集合序列fE;1E2;¢¢¢g½F，均成立µ¶S1P1mEi=m(Ei):i=1i=1这时，称m为(•;F)上的测度.当•=Rn而F为Borel集nn①合族B时，称m为R上的测度.序偶(•;F;m)称为测度空间.现在，我们来给出概率空间的定义.定义1.1给定抽象空间•与其上的一个完全加法族F.可测空间(•;F)上满足P(•)=1①关于测度，请参看

5、高木贞治教授的著作《解析概论》的第9章.(本书中文版即将由人民邮电出版社出版.)4第1章概率论的基本概念的测度P，称为(•;F)上的概率测度.对于E2F，称P(E)为E的概率或E的P-测度.将•,F,P一起考虑时，所产生的序偶(•;F;P)称为概率空间.x2概率空间的实际意义针对想理解后面出现的定理含义的读者，这里有必要对前一节定义的抽象概率空间在实际随机现象研究中的应用加以说明，仅对推理感兴趣的读者另当别论.随机现象的研究基本上分为以下三个步骤.第一步：试验如投掷一枚均匀的骰子，观察出现的点数;又如从有6个黑球4个白球的盒子中任取一个球，等等.第二步：设定标记为将试验的结果在脑海中清晰地描绘

6、出来，有必要事先确定结果的精度.以掷骰子的试验为例，要确①定的是像德川时代的赌徒们所想的那样只是分偶数与奇数，②还是像双六游戏那样关注骰子的点数本身.为此我们引入标记，也就是说某一个空间•，它可以是R，Rn甚至是更一般的①德川时代自公元1603年德川家康受任征夷大将军在江户设幕府开始，至1867年第15代将军庆喜将政治大权奉还朝廷(即大政奉还)为止，约265年，为继镰仓、室町幕府之后最强盛也是最后的武家政治组织.

7、

8、译者注②一种掷骰子决定赌博的游戏.

9、

10、译者注x2概率空间的实际意义5抽象空间.当确定抽象空间后，将试验的结果与•中的点对应并将其点在脑海中描绘出来，这就是标记.在前面赌博的场合•=

11、f偶,奇g，在双六游戏的场合•=f1;2;3;4;5;6g.对标记应该注意的是：1±与空间•的任何点都不对应的现象不会发生;2±与空间•的两个点或更多点对应的现象也不会发生;3±空间•中存在与现象不对应的点也无妨.例如在双六游戏的场合，•=R也可以，其中1;2;3;4;5;6以外的点与现象不对应.这里讲的•相当于概率空间(•;F;P)中的•.第三步：引入概率若如上面那样考虑，要确定试验结果发生的可