《凸集分离定理》PPT课件.ppt

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1、集合内点：补集：开集：闭集：有界集：紧集：有界闭集称为紧集．-邻域：性质：定义：设S⊆En,若对∀x(1),x(2)∈S及∀λ∈[0,1],都有λx(1)+(1-λ)x(2)∈S则称S为凸集。凸集分离定理定义：定理1：证明：定理1：证明：定理1：证明：定理1：证明：定理2:证明：定理3:证明：推论4:定理5:证明：定理6:Farkas定理：证明：Farkas定理：Gordan定理：证明：Gordan定理：证明：证法正确吗？凸函数凸函数：设S是En中的非空凸集，f(x)是定义在S上的实函数，如果对于每一对x1，x2S及每一个a，0≤a≤1,都有f(ax

2、1+(1－a)x2)≤af(x1)+(1－a)f(x2)则称函数f(x)为S上的凸函数．上式中，若≤变为<，则称为严格凸函数。若-f(x)为S的凸函数，则称f(x)为S上的凹函数．(a)严格凸x凸x非凸x(b)(c)凸函数性质(1)设f1(x)，f2(x)是凸集S上的凸函数，则函数f1(x)+f2(x)在S上也是凸函数。(2)设f(x)是凸集S上的凸函数，则对任意的a≥0，函数af(x)是凸的。推广：设f1(x)，f2(x),…,fk(x)是凸集S上的凸函数，ai≥0,则a1f1(x)+a2f2(x)+…+akfk(x)也是凸集S上的凸函数.(3)设f

3、(x)是凸集S上的凸函数，对每一个实数c，则集合Sc＝{x

4、xS，f(x)c}是凸集。(4)设S是En中的非空凸集，f是定义在S上的凸函数，则f在S上的局部极小点是整体极小点，且极小点的集合是凸集．证明：凸函数的判别梯度：Hesse矩阵：方向导数方向导数通常用下面的公式计算：定理(一阶充要条件)：证明：几何意义f(x)是凸函数当且仅当任意点处的切线增量不超过函数的增量。x(1)x(2)f(x(2))-f(x(1))f(x(1))f(x(2))证明：例：判断下列函数是否为凸函数.凸规划凸规划：求凸函数在凸集上的极小点。性质：凸规划的局部极小点就是整体

5、极小点，且极小点的集合为凸集。