凸集与凸函数.ppt

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1、2.凸集与凸函数2.1仿射集对n维欧氏空间中任意两点x≠y,则通过x和y的直线可表为l(x,y)={(1-λ)x+λy

2、λ∈R}2.凸集与凸函数则一个仿射集的平移也是仿射集Th2.1(1)Rn的子空间是包含原点的仿射集;(2),对每一非空的仿射集M,存在唯一的子空间L和向量a∈Rn,使得约定M-a=M+(-a)若a∈M,则M-a是子空间.2.凸集与凸函数若非空仿射集M=L+a,则a∈M,于是唯一子空间L可表为Df2.2.非空仿射集M的维数是指平行于仿射集M的子空间的维数.Rn中的n-1维仿射集称为超平面.2.凸集与凸函数Th2.2给定向量p(≠0)∈Rn,∈R,则是Rn中的一个超平面

3、.反之,Rn任一超平面都可表成上式的形式,且在相差一个非零常数的意义下,(p,)是唯一的.2.凸集与凸函数可验证,仿射集的交集仍是仿射集Df2.3给定Rn中集合S,包含S的所有仿射集的交集,即包含S的最小仿射集称为S的仿射包,记为affS2.凸集与凸函数Df2.1Rn中任一集合S的维数定义为它的仿射包affS的维数,即包含S的仿射集的最小维数.2.凸集与凸函数命题2.1下述断言相互等价.2.凸集与凸函数2.凸集与凸函数2.2凸集与锥2.凸集与凸函数2.凸集与凸函数x0xx-x0px0xx-x0p2.凸集与凸函数运用定义不难验证如下命题：2.凸集与凸函数2.凸集与凸函数多面体(poly

4、hedralset)是有限闭半空间的交.(可表为Axb).x4x3x2x1x5xy2.凸集与凸函数多面集{x

5、Ax0}也是凸锥，称为多面锥。2.凸集与凸函数由定义可知,锥关于正的数乘运算封闭,凸锥关于加法和正的数乘封闭,一般的,对于凸集S,集合K(S)={λx

6、λ>0,xS}是包含S的最小凸锥.锥C称为尖锥,若0S.尖锥称为突出的,若它不包含一维子空间约定:非空集合S生成的凸锥,是指可以表示成S中有限个元素的非负线性组合(称为凸锥组合)的所有点所构成的集合,记为coneS.若S凸,则coneS=K(S)∪{0}2.3凸集分离定理2.凸集与凸函数2.凸集与凸函数证明：令2.凸集与

7、凸函数所以为柯西列，必有极限,且由S为闭集知。此极限点必在S中。2.凸集与凸函数下证明唯一性2.凸集与凸函数2.凸集与凸函数2.凸集与凸函数xpX(i)(x-)(y-)0对任意xX.(ii)令p=y-，=pp.Txxxyx证明提纲由此可得2.凸集与凸函数2.凸集与凸函数Th2.7表明，S为闭凸集，yS，则y与S可分离。若令clS表示非空集合S的闭包，则当yclS时，定理结论也真。实际上我们有下述定理证明2.凸集与凸函数推论：设S为Rn中的非空集合，yS,则存在非零向量p，使对xclS,pT(x-y)02.凸集与凸函数2.凸集与凸函数2.凸集与凸函数作为凸集分离定理的应

8、用，下面介绍两个择一定理：Farkas定理和Gordan定理，它们在最优化理论中是很有用的。2.凸集与凸函数2.4择一定理2.凸集与凸函数2.凸集与凸函数2.凸集与凸函数2.凸集与凸函数2.凸集与凸函数2.凸集与凸函数2.凸集与凸函数2.凸集与凸函数2.凸集与凸函数2.凸集与凸函数2.凸集与凸函数