第3讲凸集、凸函数、凸规划

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1、第3讲凸集、凸函数、凸规划凸集(ConvexSet)凸函数(ConvexFunction)凸规划(ConvexProgramming)凸性(Convexity)是最优化理论必须涉及到基本概念.具有凸性的非线性规划模型是一类特殊的重要模型，它在最优化的理论证明及算法研究中具有非常重要的作用.凸集---定义线性组合(linearCombination)仿射组合(AffineCombination)凸组合(ConvexCombination)凸锥组合(ConvexConeCombination)凸集---定义例二维情况下，两点x1,x2的(a)线性组合为全平面；(b)仿射组合为过这两点的直

2、线；(c)凸组合为连接这两点的线段；(b)凸锥组合为以原点为锥顶并通过这两点的锥.凸集---定义凸集---定义定义1设集合若对于任意两点及实数都有：则称集合为凸集．常见的凸集：单点集{x}，空集，整个欧氏空间Rn，超平面：半空间：例：证明超球为凸集．证明：设为超球中的任意两点，则有：即点属于超球,所以超球为凸集．凸集----举例(1)任意多个凸集的交集为凸集．(2)设是凸集，是一实数，则下面的集合是凸集：凸集-----性质(3)推论：设是凸集，则也是凸集，其中是实数．(4)S是凸集当且仅当S中任意有限个点的凸组合仍然在S中.凸集-----性质注：和集和并集有很大的区别，凸集的并集未

3、必是凸集，而凸集的和集是凸集．例：表示轴上的点．表示轴上的点．则表示两个轴的所有点，它不是凸集；而凸集．凸集-----性质定义设S中任意有限个点的所有凸组合所构成的集合称为S的凸包，记为H(S),即凸集-----凸包(ConvexHull)定理2.1.4H(S)是Rn中所有包含S的凸集的交集.H(S)是包含S的最小凸集.定义锥、凸锥凸集-----凸锥(ConvexCone)定义分离(Separation)凸集-----凸集分离定理性质定理2.1.5凸集-----凸集分离定理(2)是点到集合的最短距离点的充要条件为：注：闭凸集外一点与闭凸集的极小距离，即投影定理。定理2.1.5直观解释

4、我们不妨把一个闭凸集想象为一个三维的充满了气体的气球（不一定为标准球形，但必须是凸的），那么，在气球外一点，到气球各点（包括内部）的距离是不一样的，但直觉告诉我们，肯定在气球上有一点，它到该点的距离是所有距离中最小的。这是凸集的特有性质。如果不是凸集，就不会这样了，比如一个平面上对称心形的图形（它不是凸的）外一点，至少可以找到2点，使其到外面那一点的距离最小。凸集-----凸集分离定理凸集分离定理定理2.1.6凸集-----凸集分离定理ylS点与闭凸集的分离定理凸集分离定理应用---Farkas引理定理2.1.7凸集-----凸集分离定理应用Farkas引理在我们即将学习的最优性条件

5、中是重要的基础.Farkas引理–几何解释设A的第i个行向量为ai,i=1,2,…,m,则(2.1.4)式有解当且仅当凸锥{x

6、Ax≤0}与半空间{x

7、bTx>0}的交不空.即(2.1.4)式有解当且仅当存在向量x,它与各ai的夹角钝角或直角，而与b的夹角为锐角.(2.1.5)式有解当且仅当b在由a1,a2,…,am所生成的凸锥内.a2(2.1.4)有解，(2.1.5)无解a1amb凸集-----凸集分离定理应用a1a2amb(2.1.4)无解，(2.1.5)有解凸集分离定理应用---Gordan定理定理2.1.8凸集-----凸集分离定理应用利用Farkas引理可推导下述的Gord

8、an定理和择一性定理.凸集分离定理应用---择一性定理定理2.1.9凸函数凸函数(ConvexFunction)----定义2.4设是非空凸集，若对任意的及任意的都有：则称函数为上的凸函数．注：将上述定义中的不等式反向，可以得到凹函数的定义．凸函数严格凸函数设是非空凸集，若对任意的及任意的都有：则称函数为上的严格凸函数．注：将上述定义中的不等式反向，可以得到严格凹函数的定义．凸函数对一元函数在几何上表示连接的线段．所以一元凸函数表示连接函数图形上任意两点的线段总是位于曲线弧的上方．几何性质表示在点处的函数值．f(X)Xf(X1)f(X2)X1X2f(X)Xf(X1)f(X2)X1X2

9、αx1+(1-α)x2f(αx1+(1-α)x2)f(X)Xf(X1)f(X2)X1X2αx1+(1-α)x2f(αx1+(1-α)x2)f(X)Xαf(x1)+(1-α)f(x2)f(X1)f(X2)X1X2αx1+(1-α)x2f(αx1+(1-α)x2)f(X)Xf(X1)f(X2)X1X2任意两点的函数值的连线上的点都在曲线的上方αx1+(1-α)x2f(αx1+(1-α)x2)αf(x1)+(1-α)f(x2)例4.2.1(a)凸函数(b)凹函数